Инверсивное расстояние - Inversive distance

В инверсивная геометрия, то обратное расстояние это способ измерения "расстояние "между двумя круги независимо от того, пересекаются ли круги друг с другом, касаются друг друга или не пересекаются друг с другом.^[1]

Характеристики

Обратное расстояние остается неизменным, если круги перевернутый, или преобразованный Преобразование Мёбиуса.^[1]^[2]^[3] Одна пара окружностей может быть преобразована в другую с помощью преобразования Мёбиуса тогда и только тогда, когда обе пары имеют одинаковое обратное расстояние.^[1]

Аналог Теорема Бекмана – Куорлза справедливо для инверсивного расстояния: если биекция набора кругов в инверсной плоскости сохраняет обратное расстояние между парами окружностей на некотором выбранном фиксированном расстоянии ${ displaystyle delta}$ , то это должно быть преобразование Мёбиуса, сохраняющее все обратные расстояния.^[3]

Формула расстояния

Для двух кругов в Евклидова плоскость с радиусами ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle R}$ , и расстояние ${ displaystyle d}$ между их центрами обратное расстояние можно определить по формуле^[1]

{ displaystyle I = { frac {d ^ {2} -r ^ {2} -R ^ {2}} {2rR}}.}

Эта формула дает:

значение больше 1 для двух непересекающихся кругов,
значение 1 для двух окружностей, которые касаются друг друга и находятся вне друг друга,
значение от -1 до 1 для двух пересекающихся кругов,
- значение 0 для двух кругов, которые пересекаются друг с другом в прямые углы ,
значение -1 для двух окружностей, которые касаются друг друга, одна внутри другой,
и значение меньше -1, когда один кружок содержит другой.

(Некоторые авторы определяют абсолютное обратное расстояние как абсолютное значение обратного расстояния.)

Некоторые авторы модифицируют эту формулу, принимая обратный гиперболический косинус значения, указанного выше, а не самого значения.^[2]^[4] То есть вместо использования числа ${ displaystyle I}$ в качестве обратного расстояния, вместо этого оно определяется как число ${ displaystyle delta}$ подчиняясь уравнению

{ displaystyle delta = operatorname {arcosh} (I).}

Хотя преобразование обратного расстояния таким образом усложняет формулу расстояния и предотвращает ее применение к пересекающимся парам окружностей, оно имеет то преимущество, что (как и обычное расстояние для точек на линии) расстояние становится аддитивным для окружностей в карандаш кругов. То есть, если три круга принадлежат одному карандашу, то (используя ${ displaystyle delta}$ на месте ${ displaystyle I}$ как обратное расстояние) одно из трех попарных расстояний будет суммой двух других.^[2]

В других геометриях

Также возможно определить обратное расстояние для окружностей на сфера, или для кругов в гиперболическая плоскость.^[1]

Приложения

Цепи Штейнера

А Цепь Штейнера для двух непересекающихся окружностей - это конечная циклическая последовательность дополнительных окружностей, каждая из которых касается двух данных окружностей и двух своих соседей по цепочке. Поризма Штейнера утверждает, что если две окружности имеют цепочку Штейнера, у них бесконечно много таких цепей. Цепь может оборачиваться более одного раза вокруг двух кругов и может быть охарактеризована рациональным числом. ${ displaystyle p}$ числитель которого равен количеству кругов в цепочке, а знаменатель - количеству витков. Все цепочки для одних и тех же двух кругов имеют одинаковое значение ${ displaystyle p}$ . Если обратное расстояние между двумя окружностями (после вычисления обратного гиперболического косинуса) равно ${ displaystyle delta}$ , тогда ${ displaystyle p}$ можно найти по формуле

{ displaystyle p = { frac { pi} { sin ^ {- 1} tanh ( delta / 2)}}.}

И наоборот, каждые две непересекающиеся окружности, для которых эта формула дает Рациональное число поддержит цепочку Штайнера. В более общем смысле, произвольная пара непересекающихся окружностей может быть сколь угодно близко аппроксимирована парами окружностей, поддерживающими цепи Штейнера, ${ displaystyle p}$ ценности рациональные приближения к значению этой формулы для данных двух кружков.^[2]

Круглые упаковки

Инверсивное расстояние было использовано для определения концепции инверсивного расстояния. упаковка круга: набор кругов, такой что указанное подмножество пар кругов (соответствующих краям планарный граф ) имеют заданное обратное расстояние друг относительно друга. Эта концепция обобщает кольцевые упаковки, описываемые теорема об упаковке кругов, в котором указанные пары окружностей касаются друг друга.^[1]^[5] Хотя о существовании упаковок кругов с обратным расстоянием известно меньше, чем об упаковках касательных кругов, известно, что, когда они существуют, они могут быть однозначно заданы (с точностью до преобразований Мёбиуса) заданным максимальный планарный граф и набор евклидовых или гиперболических обратных расстояний. Этот свойство жесткости можно обобщить в широком смысле на евклидовы или гиперболические метрики на триангулированных коллекторы с угловые дефекты в их вершинах.^[6] Однако для коллекторов со сферической геометрией эти упаковки больше не уникальны.^[7] В свою очередь, упаковки кругов с обратным расстоянием были использованы для построения приближений к конформные отображения.^[1]

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Обратное расстояние». MathWorld.

[bh-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Bowers, Philip L .; Хердал, Моника К. (2003), «Плоские конформные отображения кусочно-плоских поверхностей», в Hege, Hans-Christian; Полтье, Конрад (ред.), Визуализация и математика III, Математика и визуализация, Springer, стр. 3–34, Дои:10.1007/978-3-662-05105-4_1, МИСТЕР 2046999.

[ampa-2] а ^б ^c ^d Кокстер, Х. С. М. (1966), «Обратное расстояние», Annali di Matematica Pura ed Applicata, 71: 73–83, Дои:10.1007 / BF02413734, МИСТЕР 0203568.

[bq-3] а ^б Лестер, Дж. А. (1991), "Теорема типа Бекмана-Куорлза для инверсивного расстояния Кокстера", Канадский математический бюллетень, 34 (4): 492–498, Дои:10.4153 / CMB-1991-079-6, МИСТЕР 1136651.

[4] Кокстер, H.S.M.; Грейцер, С. (1967), Возвращение к геометрии, Новая математическая библиотека, 19, Вашингтон, округ Колумбия.: Математическая ассоциация Америки, стр. 123–124, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402

[5] Bowers, Philip L .; Стивенсон, Кеннет (2004), "8.2 Инверсивные дистанционные упаковки", Униформизация рисунков и карт Белого с помощью упаковки кругов, Мемуары Американского математического общества, 805, стр. 78–82, Дои:10.1090 / memo / 0805, МИСТЕР 2053391.

[6] Луо, Фэн (2011), "Жесткость многогранных поверхностей, III", Геометрия и топология, 15 (4): 2299–2319, arXiv:1010.3284, Дои:10.2140 / gt.2011.15.2299, МИСТЕР 2862158.

[7] Ма, Джиминг; Шленкер, Жан-Марк (2012), "Нежесткость сферических кольцевых упаковок с обратным расстоянием", Дискретное вычисление. Геом., 47 (3): 610–617, arXiv:1105.1469, Дои:10.1007 / s00454-012-9399-3, МИСТЕР 2891251.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]