Собственное плоское расстояние - Intrinsic flat distance

В математика, то внутреннее плоское расстояние это понятие расстояния между двумя Римановы многообразия что является обобщением Федерер и Флеминга ровное расстояние между подмногообразиями и интегральные токи лежащий в евклидовом пространстве.

Обзор

В Сормани –Венгерское внутреннее плоское (SWIF) расстояние - это расстояние между компактными ориентированными римановыми многообразиями одной размерности. В более общем плане он определяет расстояние между двумя интегральными токовыми пространствами (Икс,d,Т) такой же размерности (см. ниже). Этот класс пространств и это расстояние впервые были заявлены математиками. Сормани и Венгер на Фестиваль геометрии в 2009 г. и подробное развитие этих понятий появилось в Журнал дифференциальной геометрии в 2011.[1]

Расстояние SWIF - это внутреннее понятие, основанное на (внешнем) плоском расстоянии между подмногообразиями и интегральными токами в евклидовом пространстве, разработанном Федерер и Флеминг. Это определение имитирует определение Громова. Расстояние Громова – Хаусдорфа в том, что он включает в себя взятие нижней грани по всем сохраняющим расстояние отображениям данных пространств во все возможные объемлющие пространства Z. Однажды в общем пространстве Z, плоское расстояние между изображениями получается путем рассмотрения изображений пространств как интегральных токов в смысле Амбросио –Kirchheim.[1]

Приблизительная идея как во внутренних, так и во внешних параметрах настройки состоит в том, чтобы рассматривать пространства как границу третьего пространства или области и находить наименьший взвешенный объем этого третьего пространства. Таким образом, сферы с множеством шлицев, которые содержат все более и более малые объемы, сходятся "SWIF-ly" к сферам.[1]

Риманова установка

Для двух компактных ориентированных римановых многообразий Mя, возможно с границей:

dSWIF(M1, M2) = 0

если существует сохраняющая ориентацию изометрия из M1 к M2. Если Mя сходятся в смысле Громова – Хаусдорфа к метрическому пространству Y то подпоследовательность Mя сходятся SWIF-ly к целостному текущему пространству, содержащемуся в Y но не обязательно равно Y. Например, предел GH для последовательности сфер с длинной тонкой шейкой - это пара сфер с отрезком линии, проходящим между ними, а предел SWIF - это просто пара сфер. Предел GH последовательности более тонких и более тонких торов - это круг, но плоский предел - это пространство 0. В обстановке с неотрицательным Кривизна Риччи и единая нижняя граница объема, пределы GH и SWIF совпадают. Если последовательность многообразий сходится в липшицевом смысле к предельному липшицеву многообразию, то предел SWIF существует и имеет тот же предел.[1]

Теорема Венгера о компактности утверждает, что если последовательность компактных римановых многообразий, Mj, имеет единую верхнюю границу диаметра, объема и граничного объема, то подпоследовательность сходится SWIF-ly к целому текущему пространству.[1]

Интегральные текущие пространства

M-мерное интегральное текущее пространство (Икс,d,Т) - метрическое пространство (Икс,d) с м-мерная интегральная структура тока Т. Точнее, используя понятия Амброзио – Кирхгайма, Т является м-мерный интегральный ток на метрическом пополнении Икс, и Икс - множество положительной плотности меры массы Т. Как следствие глубоких теорем Амброзио – Кирхгайма, Икс тогда счетно ЧАСм выпрямляемое метрическое пространство, поэтому оно покрыто ЧАСм почти всюду изображениями билипшицевых карт из компактных подмножеств рм, он наделен целочисленной весовой функцией и имеет ориентацию. Вдобавок интегральное текущее пространство имеет четко определенное понятие границы, которое является (м - 1) -мерное интегральное текущее пространство. 0-мерное интегральное текущее пространство - это конечный набор точек с целочисленными весами. Одно специальное интегральное текущее пространство, обнаруженное в каждом измерении, - это пространство 0.[1]

Внутреннее плоское расстояние между двумя интегральными токовыми пространствами определяется следующим образом:

dSWIF((Икс1, d1, Т1), (Икс2, d2, Т2,)) определяется как нижняя грань всех чисел d F(ж1* Т1,ж2* Т2) для всех метрических пространств M и все карты с сохранением расстояния жя :Икся → Z. Здесь d F обозначает ровное расстояние между интегральными токами в Z найдены путем проталкивания интегральных токовых структур Тя.

Два интегральных токовых пространства имеют dSWIF = 0 тогда и только тогда, когда между пространствами существует текущая сохраняющая изометрия.[1]

Все вышеупомянутые результаты могут быть сформулированы и в этой более общей постановке, включая теорему Венгера о компактности.[1]

Приложения

  • Чтобы доказать, что некоторые пределы GH счетно Hм исправимый[1]
  • Чтобы понять плавную сходимость вдали от сингулярностей[2]
  • Чтобы понять сходимость римановых многообразий с краем[1]
  • Изучать вопросы, возникающие в общей теории относительности.[3]
  • Изучить вопросы, возникающие в статье Громова о многообразиях Плато – Штейна.[4]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я j «Внутреннее плоское расстояние между римановыми многообразиями и другими интегральными токовыми пространствами» Сормани и Венгера, Журнал дифференциальной геометрии, Том 87, 2011, 117–199
  2. ^ «Плавная сходимость вдали от особых множеств» Саджада Лакзяна и Кристина Сормани Коммуникации в анализе и геометрии. Volume 21, Number 1, 39–104, 2013 г.
  3. ^ «Почти равенство в неравенстве Пенроуза для вращательно-симметричных римановых многообразий» Дэна Ли и Кристина Сормани Анналы Анри Пуанкаре, ноябрь 2012 г., том 13, выпуск 7, стр. 1537–1556
  4. ^ Громов, Миша (2014). «Многообразия Плато – Штейна». Открытая математика. 12. Дои:10.2478 / с11533-013-0387-5.

внешняя ссылка