Уравнение интегроразличия - Integrodifference equation

В математика, интегро-разностное уравнение это отношение повторения на функциональное пространство, следующего вида:

${displaystyle n_{t+1}(x)=int _{Omega }k(x,y),f(n_{t}(y)),dy,}$

куда ${displaystyle {n_{t}},}$ - последовательность в функциональном пространстве и ${displaystyle Omega ,}$ является областью этих функций. В большинстве приложений для любых ${displaystyle yin Omega ,}$, ${displaystyle k(x,y),}$ это функция плотности вероятности на ${displaystyle Omega ,}$. Обратите внимание, что в приведенном выше определении ${displaystyle n_{t}}$ может быть векторным, и в этом случае каждый элемент ${displaystyle {n_{t}}}$ имеет связанное со скалярным знаком интегро-разностное уравнение. Интегроразностные уравнения широко используются в математическая биология, особенно теоретическая экология, чтобы смоделировать рассредоточение и рост населения. В этом случае, ${displaystyle n_{t}(x)}$ это размер или плотность населения на месте ${displaystyle x}$ вовремя ${displaystyle t}$, ${displaystyle f(n_{t}(x))}$ описывает рост местного населения на месте ${displaystyle x}$ и ${displaystyle k(x,y)}$, - вероятность отойти от точки ${displaystyle y}$ В точку ${displaystyle x}$, часто называемое ядром рассеивания. Интегроразностные уравнения чаще всего используются для описания унивольтинный популяции, включая, но не ограничиваясь, многие виды членистоногих и однолетние растения. Тем не менее, многовольтные популяции также можно моделировать с помощью интегро-разностных уравнений,^[1] до тех пор, пока в организме не пересекаются поколения. В этом случае, ${displaystyle t}$ измеряется не годами, а скорее промежутком времени между выводками.

Ядра свертки и скорости вторжения

В одном пространственном измерении ядро ​​рассеивания часто зависит только от расстояния между источником и пунктом назначения и может быть записано как ${displaystyle k(x-y)}$. В этом случае некоторые естественные условия на f и k означают, что существует четко определенная скорость распространения волн вторжения, порожденных компактными начальными условиями. Скорость волны часто рассчитывают, изучая линеаризованное уравнение

${displaystyle n_{t+1}=int _{-infty }^{infty }k(x-y)Rn_{t}(y)dy}$

куда ${displaystyle R=df/dn(n=0)}$Это можно записать как свертку

${displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

Использование преобразования момент-производящей функции

${displaystyle M(s)=int _{-infty }^{infty }e^{sx}n(x)dx}$

было показано, что критическая скорость волны

${displaystyle c^{*}=min _{w>0}left[{frac {1}{w}}ln left(Rint _{-infty }^{infty }k(s)e^{ws}dsight)ight]}$

Другие типы уравнений, используемые для моделирования динамика населения через пространство включать реакция-диффузия уравнения и метапопуляция уравнения. Однако уравнения диффузии не так легко позволяют включить явные модели распространения и являются биологически точными только для популяций с перекрывающимися поколениями.^[2] Уравнения метапопуляции отличаются от уравнений интегро-разности тем, что они разбивают популяцию на дискретные участки, а не на непрерывный ландшафт.

Рекомендации

1. Кин, Джон М. и Найджел Д. Барлоу. 2001. Пространственная модель для успешного биологического контроля Sitona discoideus с помощью Microctonus aethiopoides. Журнал прикладной экологии. 38: 1: 162-169.
2. Кот, Марк и Уильям М. Шаффер. 1986. Дискретные модели распространения роста. Математические биологические науки. 80:109-136