Теорема об интегральном представлении классического винеровского пространства - Integral representation theorem for classical Wiener space

В математика, то Интегральная теорема представления для классического винеровского пространства результат в полях теория меры и стохастический анализ. По сути, он показывает, как разложить функция на классическое винеровское пространство в сумму его ожидаемое значение и Ито интегральный.

Формулировка теоремы

Позволять ${displaystyle C_{0}([0,T];mathbb {R} )}$ (или просто ${displaystyle C_{0}}$ для краткости) классическое винеровское пространство с классической винеровской мерой ${displaystyle gamma }$. Если ${displaystyle Fin L^{2}(C_{0};mathbb {R} )}$, то существует единственный интегрируемый процесс Ито ${displaystyle alpha ^{F}:[0,T] imes C_{0} o mathbb {R} }$ (т.е. в ${displaystyle L^{2}(B)}$, куда ${displaystyle B}$ каноничен Броуновское движение ) такие, что

${displaystyle F(sigma )=int _{C_{0}}F(p),mathrm {d} gamma (p)+int _{0}^{T}alpha ^{F}(sigma )_{t},mathrm {d} sigma _{t}}$

за ${displaystyle gamma }$-почти все ${displaystyle sigma in C_{0}}$.

В приведенном выше описании

• ${displaystyle int _{C_{0}}F(p),mathrm {d} gamma (p)=mathbb {E} [F]}$ ожидаемое значение ${displaystyle F}$; и
• интеграл ${displaystyle int _{0}^{T}cdots ,mathrm {d} sigma _{t}}$ является интегралом Ито.

Доказательство теоремы об интегральном представлении требует Теорема Кларка-Окона от Исчисление Маллявэна.

Следствие: интегральное представление для произвольного вероятностного пространства.

Позволять ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )}$ быть вероятностное пространство. Позволять ${displaystyle B:[0,T] imes Omega o mathbb {R} }$ быть Броуновское движение (т.е. случайный процесс чей закон Мера Винера ). Позволять ${displaystyle {{mathcal {F}}_{t}|0leq tleq T}}$ быть естественным фильтрация из ${displaystyle {mathcal {F}}}$ по броуновскому движению ${displaystyle B}$:

${displaystyle {mathcal {F}}_{t}=sigma {B_{s}^{-1}(A)|Ain mathrm {Borel} (mathbb {R} ),0leq sleq t}.}$

Предположим, что ${displaystyle fin L^{2}(Omega ;mathbb {R} )}$ является ${displaystyle {mathcal {F}}_{T}}$-измеримый. Тогда существует уникальный интегрируемый процесс Ито ${displaystyle a^{f}in L^{2}(B)}$ такой, что

${displaystyle f=mathbb {E} [f]+int _{0}^{T}a_{t}^{f},mathrm {d} B_{t}}$ ${displaystyle mathbb {P} }$-почти наверняка.

Рекомендации

• Мао Сюэрон. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Чичестер: Хорвуд. (1997)