Мгновенная фаза и частота - Instantaneous phase and frequency

Мгновенная фаза и частота важные концепции в обработка сигналов которые происходят в контексте представления и анализа функций, изменяющихся во времени.^[1] В мгновенная фаза (также известный как локальная фаза или просто фаза) из комплексный функция s(т), является вещественной функцией:

${\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}$

куда аргумент это функция со сложным аргументом. мгновенная частота - временная скорость мгновенной фазы.

И для ценный функция s(т), определяется из функции аналитическое представление, s_а(т):^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\}.\end{aligned}}}$

Когда φ(т) ограничен своим основная стоимость, либо интервал (-π, π] или [0, 2π), это называется завернутый этап. В противном случае это называется развернутая фаза, которая является непрерывной функцией аргумента т, предполагая s_а(т) является непрерывной функцией т. Если не указано иное, следует предполагать непрерывную форму.

Мгновенная фаза в зависимости от времени.

Примеры

Пример 1

${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}$

куда ω > 0.

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=Ae^{j(\omega t+\theta )},}$

${\displaystyle \varphi (t)=\omega t+\theta .}$

В этом простом синусоидальном примере постоянная θ также обычно называют фаза или же фазовый сдвиг. φ(т) является функцией времени; θ не является. В следующем примере мы также видим, что фазовый сдвиг синусоиды с действительным знаком неоднозначен, если не указана ссылка (sin или cos). φ(т) однозначно определено.

Пример 2

${\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos(\omega t-\pi /2),}$

куда ω > 0.

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=Ae^{j(\omega t-\pi /2)},}$

${\displaystyle \varphi (t)=\omega t-\pi /2.}$

В обоих примерах локальные максимумы s(т) соответствуют φ(т) = 2πN для целых значенийN. Это имеет приложения в области компьютерного зрения.

Мгновенная частота

Мгновенная угловая частота определяется как:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}$

и мгновенная (обычная) частота определяется как:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\tfrac {1}{2\pi }}\omega (t)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\end{aligned}}}$

куда φ(т) должен быть развернутый мгновенный фазовый угол. Если φ(т) заворачивается, разрывы в φ(т) приведет к Дельта Дирака импульсы в ж(т).

Обратная операция, которая всегда разворачивает фазу, это:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

Эта мгновенная частота, ω(т), могут быть получены непосредственно из реальные и мнимые части из s_а(т) вместо сложный аргумент не заботясь о разворачивании фазы.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} (\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\},\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\})+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}$

2м₁π и м₂π являются целыми числами, кратными π необходимо добавить, чтобы развернуть фазу. При ценностях времени т, где нет изменений в целое число м₂, производная от φ(т) является

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)&={\frac {d\varphi (t)}{dt}}\\&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)\\\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)\\\\&={\frac {\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}-\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}}{(\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\})^{2}+(\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\})^{2}}}\\\\&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left(\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}-\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}\right)\\&={\frac {1}{(s(t))^{2}+(({\hat {s}}(t))^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}$

Для функций с дискретным временем это можно записать как рекурсию:

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\omega [n]=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}.}$

Затем разрывы можно устранить, добавив 2π когда Δφ[п] ≤ −π, и вычитая 2π когда Δφ[п] > π. Это позволяет φ[п] для неограниченного накопления и производит развернутую мгновенную фазу. Эквивалентная формулировка, заменяющая по модулю 2π операция с комплексным умножением:

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}$

где звездочка означает комплексное сопряжение. Мгновенная частота дискретного времени (в радианах на выборку) - это просто сдвиг фазы для этой выборки.

${\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}$

Комплексное представление

В некоторых приложениях, например при усреднении значений фазы в несколько моментов времени, может быть полезно преобразовать каждое значение в комплексное число или векторное представление:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\varphi (t)}&={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}\\[4pt]&=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).\end{aligned}}}$

Это представление похоже на представление обернутой фазы в том, что оно не различает кратные 2π в фазе, но похоже на представление развернутой фазы, поскольку оно непрерывно. Среднюю векторную фазу можно получить как аргумент суммы комплексных чисел, не беспокоясь о циклическом переносе.

Смотрите также

• Аналитический сигнал
• Модуляция частоты
• Мгновенная амплитуда

Рекомендации

1. Sejdic, E .; Джурович, И .; Станкович, Л. (август 2008 г.). "Количественный анализ характеристик скалограммы как мгновенного оценщика частоты". Транзакции IEEE при обработке сигналов. 56 (8): 3837–3845. Дои:10.1109 / TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X.
2. Блэкледж, Джонатан М. (2006). Цифровая обработка сигналов: математические и вычислительные методы, разработка программного обеспечения и приложения (2-е изд.). Издательство Вудхед. п. 134. ISBN  1904275265.
3. Ван, С. (2014). «Улучшенный метод фазового разворачивания с контролем качества и его применение в МРТ». Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма. 145: 273–286. Дои:10.2528 / PIER14021005.

дальнейшее чтение

• Коэн, Леон (1995). Частотно-временной анализ. Прентис Холл.
• Гранлунд; Кнутссон (1995). Обработка сигналов для компьютерного зрения. Kluwer Academic Publishers.