Индуцированная метрика - Induced metric

В математика и теоретическая физика, то индуцированная метрика это метрический тензор определено на подмногообразие который вычисляется из метрического тензора на большем многообразие в которое вложено подмногообразие, через откат, вызывающий. Его можно рассчитать по следующей формуле (написанной с использованием Соглашение о суммировании Эйнштейна ), которая является составной частью операции отката:^[1]

${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }\ }$

Здесь ${\displaystyle a,b\ }$ описать индексы координат ${\displaystyle \xi ^{a}\ }$ подмногообразия, а функции ${\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{a})\ }$ кодируют вложение в многомерное многообразие, касательные индексы которого обозначены ${\displaystyle \mu ,\nu \ }$.

Пример - кривая на торе

Позволять

${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} ^{3},\ \tau \mapsto {\begin{cases}{\begin{aligned}x^{1}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}&=b\sin(n\cdot \tau ).\end{aligned}}\end{cases}}}$

- карта из области определения кривой ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с параметром ${\displaystyle \tau }$ в евклидово многообразие ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Здесь ${\displaystyle a,b,m,n\in \mathbb {R} }$ являются константами.

Тогда есть метрика, заданная на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ в качестве

${\displaystyle g=\sum \limits _{\mu ,\nu }g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }\quad {\text{with}}\quad g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

и мы вычисляем

${\displaystyle g_{\tau \tau }=\sum \limits _{\mu ,\nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}\underbrace {g_{\mu \nu }} _{\delta _{\mu \nu }}=\sum \limits _{\mu }\left({\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}=m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2}}$

Следовательно ${\displaystyle g_{\mathcal {C}}=(m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2})\mathrm {d} \tau \otimes \mathrm {d} \tau }$

Смотрите также

• Первая фундаментальная форма

Рекомендации

1. Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста. Издательство Кембриджского университета. п. 62. ISBN  978-0-521-83091-1.