Набор IP - IP set

В математика, Набор IP это набор натуральные числа который содержит все конечные суммы некоторых бесконечный набор.

Конечные суммы множества D натуральных чисел - это все те числа, которые можно получить сложением элементов некоторого конечного непустой подмножество DМножество всех конечных сумм по D часто обозначается как FS (D). В более общем смысле, для последовательности натуральных чисел (п_я) можно рассматривать множество конечных сумм FS ((п_я)), состоящий из сумм всех подпоследовательностей конечной длины последовательности (п_я).

Множество А натуральных чисел является IP-множеством, если существует бесконечное множество D такой, что FS (D) является подмножеством А. Равным образом можно потребовать, чтобы А содержит все конечные суммы FS ((п_я)) последовательности (п_я).

Некоторые авторы дают несколько иное определение наборов IP: они требуют, чтобы FS (D) равный А а не просто подмножество.

Термин IP-набор был введен Фюрстенбергом и Вайсом.^[1] сокращать "яnконечномерный ппараллелепипед ". По счастливой случайности аббревиатуру IP можно также расширить до"ядемпotent "^[2] (набор является IP тогда и только тогда, когда он является членом идемпотента ультрафильтр ).

Теорема Хиндмана

Если ${\displaystyle S\,}$ это набор IP и ${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}}$, то хотя бы один ${\displaystyle C_{i}\,}$ - это набор IP-адресов. Теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах.^[3][4] Другими словами, теорема Хиндмана утверждает, что класс IP-множеств перегородка регулярная.

Поскольку набор натуральных чисел сам по себе является IP-набором, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа «раскрашены» п различные цвета; каждое натуральное число получает одно и только одно из п цвета. Тогда существует цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, все окрашены c, такие, что каждая конечная сумма по D также имеет цвет c.

В Теорема Милликена – Тейлора является общим обобщением теоремы Хиндмана и Теорема Рамсея.

Полугруппы

Определение ИС было расширено за счет подмножеств специальных полугруппа натуральных чисел с добавлением к подмножествам полугрупп и частичных полугрупп в целом. Вариант теоремы Хиндмана верен для произвольных полугрупп.^[5][6]

Смотрите также

• Эргодическая теория Рамсея
• Кусочно-синдетический набор
• Синдетический набор
• Толстый набор

Рекомендации

1. Гарри, Фюрстенберг. Рекуррентность в эргодической теории и комбинаторной теории чисел. Принстон, Нью-Джерси. ISBN  9780691615363. OCLC  889248822.
2. Бергельсон, В .; Лейбман, А. (2016). «Наборы больших значений корреляционных функций для полиномиальных кубических конфигураций». Эргодическая теория и динамические системы. 38 (2): 499–522. Дои:10.1017 / etds.2016.49. ISSN  0143-3857.
3. Хиндман, Нил (1974). «Конечные суммы из последовательностей внутри ячеек разбиения N». Журнал комбинаторной теории, серия А. 17 (1): 1–11. Дои:10.1016/0097-3165(74)90023-5. HDL:10338.dmlcz / 127803.
4. Баумгартнер, Джеймс Э (1974). «Краткое доказательство теоремы Хиндмана». Журнал комбинаторной теории, серия А. 17 (3): 384–386. Дои:10.1016/0097-3165(74)90103-4.
5. Голаны, Гили; Цабан, Боаз (2013). «Теорема Хиндмана о раскраске в произвольных полугруппах». Журнал алгебры. 395: 111–120. arXiv:1303.3600. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2013.08.007.
6. Хиндман, Нил; Штраус, Дона (1998). Алгебра в компактификации Стоуна-Чеха: теория и приложения. Нью-Йорк: Уолтер де Грюйтер. ISBN  311015420X. OCLC  39368501.

• Виталий Бергельсон, И. Дж. Х. Кнутсон, Р. Маккатчеон "Синхронное диофантово приближение и VIP-системы " Acta Arith. 116, Academia Scientiarum Polona, ​​(2005), 13-23.
• Виталий Бергельсон, "Минимальные идемпотенты и эргодическая теория Рамсея " Разделы динамики и эргодической теории 8–39, London Math. Soc. Лекционная записка серии 310, Cambridge Univ. Press, Кембридж, (2003)
• Бергельсон, В .; Хиндман, Н. (2001). «Регулярные структуры разбиения, содержащиеся в больших наборах, многочисленны». J. Comb. Теория А. 93: 18–36. Дои:10.1006 / jcta.2000.3061. А общедоступная копия размещен одним из авторов.
• Х. Фюрстенберг, Б. Вайс, "Топологическая динамика и комбинаторная теория чисел", J. Anal. Математика. 34 (1978), стр. 61–85
• Дж. Маклеод "Некоторые понятия размера в частичных полугруппах ", Топология Труды, Vol. 25 (2000), стр. 317–332