Гипсометрическое уравнение - Hypsometric equation

В гипсометрическое уравнение, также известный как уравнение толщины, связывает атмосферное давление отношение к эквивалентной толщине атмосферного слоя с учетом среднего слоя виртуальная температура, сила тяжести, а иногда ветер. Это получено из уравнение гидростатики и закон идеального газа.

Формулировка

Гипсометрическое уравнение выражается как:^[1]

${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

куда:

${\displaystyle h}$ = толщина слоя [м],

${\displaystyle z}$ = геометрическая высота [м],

${\displaystyle R}$ = специфический газовая постоянная для сухого воздуха,

${\displaystyle {\overline {T_{v}}}}$ = среднее виртуальная температура в кельвины [K],

${\displaystyle g}$ = гравитационное ускорение [РС²],

${\displaystyle p}$ = давление [Па ].

В метеорология, ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ находятся изобарический поверхности. В радиозонд Наблюдение, Гипсометрическое уравнение может быть использовано для вычисления высоты уровня давления с учетом высоты уровня опорного давления и средней виртуальной температурой между ними. Затем, вновь вычисленная высота может быть использована в качестве нового опорного уровня для вычисления высоты следующего уровня с учетом средней виртуальной температурой между ними, и так далее.

Вывод

Уравнение гидростатики:

${\displaystyle p=\rho \cdot g\cdot z,}$

куда ${\displaystyle \rho }$ это плотность [кг / м³], используется для создания уравнения для гидростатическое равновесие, написано в дифференциал форма:

${\displaystyle dp=-\rho \cdot g\cdot dz.}$

Это сочетается с закон идеального газа:

${\displaystyle p=\rho \cdot R\cdot T_{v}}$

устранить ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}$

Это интегрировано из ${\displaystyle z_{1}}$ к ${\displaystyle z_{2}}$:

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}$

р и грамм постоянны с z, поэтому их можно вывести за пределы интеграла. Если температура изменяется линейно с z (например, при небольшом изменении z), его также можно вывести за пределы интеграла при замене на ${\displaystyle {\overline {T_{v}}}}$, средняя виртуальная температура между ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$.

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.}$

Интеграция дает

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),}$

упрощая до

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).}$

Перестановка:

${\displaystyle z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

или, исключив натуральный журнал:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.}$

Исправление

В Эффект Этвёша можно учесть как поправку к гипсометрическому уравнению. Физически, используя систему отсчета, которая вращается вместе с Землей, воздушная масса, движущаяся на восток, фактически весит меньше, что соответствует увеличению толщины между уровнями давления, и наоборот. Следующее исправленное гипсометрическое уравнение:^[2]

${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

где поправка из-за Эффект Этвёша, A, можно выразить следующим образом:

${\displaystyle A=-{\frac {1}{g}}(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}),}$

куда

${\displaystyle \Omega }$ = Скорость вращения Земли,

${\displaystyle \phi }$ = широта,

${\displaystyle r}$ = расстояние от центра Земли до воздушной массы,

${\displaystyle {\overline {u}}}$ = средняя скорость в продольном направлении (восток-запад), и

${\displaystyle {\overline {v}}}$ = средняя скорость в широтном направлении (север-юг).

Эта поправка значительна для крупномасштабных тропических атмосферных движений.

Смотрите также

• Барометрическая формула
• Изменение давления по вертикали

Рекомендации

1. «Гипсометрическое уравнение - Глоссарий AMS». Американское метеорологическое общество. Получено 12 марта 2013.
2. Ong, H .; Раунди, П. (2019). «Нетрадиционное гипсометрическое уравнение». Q.J. R. Meteorol. Soc. Дои:10.1002 / qj.3703.