Свойство гомотопического расширения - Homotopy extension property

В математика, в районе алгебраическая топология, то свойство гомотопического расширения указывает, какие гомотопии определено на подпространство может быть расширен до гомотопии, определенной на большем пространстве. Свойство гомотопического продолжения кофибрации является двойной к в свойство гомотопического подъема что используется для определения расслоения.

Определение

Позволять ${ Displaystyle X , !}$ быть топологическое пространство, и разреши ${ Displaystyle A подмножество X}$ .Мы говорим, что пара ${ Displaystyle (Х, А) , !}$ имеет свойство гомотопического расширения если, учитывая гомотопию ${ displaystyle f_ {t} двоеточие A rightarrow Y}$ и карта ${ displaystyle F_ {0} двоеточие X rightarrow Y}$ такой, что ${ displaystyle F_ {0} | _ {A} = f_ {0}}$ , существует расширение из ${ displaystyle f_ {t}}$ к гомотопии ${ displaystyle F_ {t} двоеточие X rightarrow Y}$ такой, что ${ displaystyle F_ {t} | _ {A} = f_ {t}}$ .^[1]

То есть пара ${ Displaystyle (Х, А) , !}$ обладает свойством гомотопического расширения, если любое отображение ${ Displaystyle G двоеточие ((X times {0 }) чашка (A times I)) rightarrow Y}$ может быть расширен до карты ${ displaystyle G ' двоеточие X times I rightarrow Y}$ (т.е. ${ Displaystyle G , !}$ и ${ Displaystyle G ', !}$ договорились об их общем домене).

Если пара обладает этим свойством только на определенное codomain ${ Displaystyle Y , !}$ мы говорим, что ${ Displaystyle (Х, А) , !}$ обладает свойством гомотопического продолжения относительно ${ Displaystyle Y , !}$ .

Визуализация

Свойство гомотопического расширения изображено на следующей диаграмме

Если приведенная выше диаграмма (без пунктирной карты) коммутирует (это эквивалентно приведенным выше условиям), то пара (X, A) обладает свойством гомотопического расширения, если существует отображение ${ displaystyle { tilde {f}}}$ что делает диаграмму коммутирующей. К карри обратите внимание, что карта ${ displaystyle { tilde {f}} двоеточие от X до Y ^ {I}}$ это то же самое, что и карта ${ displaystyle { tilde {f}} двоеточие X times I to Y}$ .

Обратите внимание, что эта диаграмма двойственна (противоположна) диаграмме свойство гомотопического подъема; эту двойственность в общих чертах называют Двойственность Экмана – Хилтона.

Характеристики

Если ${ Displaystyle X , !}$ это клеточный комплекс и ${ Displaystyle А , !}$ является подкомплексом ${ Displaystyle X , !}$ , то пара ${ Displaystyle (Х, А) , !}$ обладает свойством гомотопического расширения.
Пара ${ Displaystyle (Х, А) , !}$ обладает свойством гомотопического расширения тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle (Х раз {0 } чашка А раз I)}$ это втягивать из ${ displaystyle X times I.}$

Другой

Если ${ Displaystyle (Х, А)}$ обладает свойством гомотопического расширения, то простое отображение включения ${ Displaystyle я двоеточие от А до Х}$ это кофибрация.

На самом деле, если учесть любые кофибрация ${ Displaystyle я двоеточие от Y до Z}$ , то имеем ${ Displaystyle mathbf { mathit {Y}}}$ является гомеоморфный к его образу под ${ Displaystyle mathbf { mathit {я}}}$ . Это означает, что любое кофибрация может рассматриваться как карта включения и, следовательно, может рассматриваться как обладающая свойством гомотопического расширения.

Смотрите также

Гомотопическое подъемное свойство