Теорема Холдича - Holditchs theorem
В плоская геометрия, Теорема Холдитча заявляет, что если аккорд фиксированной длины может вращаться внутри выпуклой замкнутой кривой, тогда локус точки на хорде расстояние п с одного конца и на расстоянии q от другого - замкнутая кривая, замкнутая площадь которой меньше площади исходной кривой на . Теорема была опубликована в 1858 г. Хамнет Холдич.[1][2] Хотя это и не упоминается Холдитчем, доказательство теоремы требует предположения, что хорда достаточно короткая, чтобы трассируемое геометрическое место было простой замкнутой кривой.[3]
Наблюдения
Теорема включена как одна из Клиффорд Пиковер 250 вех в история математики.[1] К особенностям теоремы можно отнести то, что формула площади не зависит ни от формы, ни от размера исходной кривой, и что формула площади такая же, как и для площади эллипс с полуосями п и q. Автор теоремы был президентом Колледж Кая, Кембридж.
Расширения
Броман[3] дает более точную формулировку теоремы вместе с обобщением. Обобщение позволяет, например, рассмотреть случай, когда внешняя кривая является треугольник, так что условия точной формулировки теоремы Холдитча не выполняются, так как пути концов хорды имеют ретроградный части (части, которые восстанавливаются) всякий раз, когда острый угол пройден. Тем не менее обобщение показывает, что если хорда короче любого из треугольников высоты, и достаточно короткий, чтобы трассируемое геометрическое место представляло собой простую кривую, формула Холдитча для промежуточной области по-прежнему верна (и остается таковой, если треугольник заменен любым выпуклый многоугольник с достаточно коротким аккордом). Однако в других случаях формулы могут отличаться.
Рекомендации
- ^ а б Пиковер, Клиффорд (1 сентября 2009 г.), Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики, Стерлинг, стр. 250, ISBN 978-1-4027-5796-9
- ^ Холдитч, преподобный Хамнет, "Геометрическая теорема", Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 2, 1858, с. 38.
- ^ а б Броман, Арне, «Свежий взгляд на давно забытую теорему», Математический журнал 54 (3), май 1981 г., стр. 99–108.
Источники
- Б. Уильямсон, ФРС, Элементарный трактат по интегральному исчислению: содержащий приложения к плоским кривым и поверхностям с многочисленными примерами (Longmans, Green, London, 1875; 2-й 1877; 3-й 1880; 4-й 1884; 5-й 1888; 6-й 1891; 7-й 1896; 8-й 1906; 1912, 1916, 1918, 1926); Ist 1875 г., pp. 192–193, с цитированием вопроса о призах Холдитча в Дневник леди и джентльмена за 1857 г. (появляется в конце 1856 г.) с расширением Вулхауза в выпуске за 1858 г .; 5-й 1888 г.; 8-й 1906 г. стр. 206–211
- Дж. Эдвардс, Трактат по интегральному исчислению с приложениями, примерами и проблемами, Vol. 1 (Macmillan, Лондон, 1921), гл. XV, особенно Разделы 478, 481–491, 496 (см. Также главу XIX о мгновенных центрах, рулетках и глизеттах); излагает и ссылается на расширения, сделанные Woolhouse, Elliott, Leudesdorf, Kempe, опираясь на более раннюю книгу Уильямсона.
- Э. Килич и С. Келес, О теореме Холдитча и импульсе полярной инерции, Commun. Фак. Sci. Univ. Анк. Сер. А, 43 (1994), 41–47.
- М. Дж. Кукер, Расширение теоремы Холдитча о площади внутри замкнутой кривой, Математика. Газ., 82 (1998), 183–188.
- М. Дж. Кукер, О подметании территории, Математика. Газ., 83 (1999), 69–73.
- Т. М. Апостол, с Мамиконом А. Мнацаканяном, Новые горизонты в геометрии. Математические экспозиции Дольчиани 47 (Математический доцент, Вашингтон, округ Колумбия, 2013 г.), Раздел 9.13.