Сорт Гессенберг - Hessenberg variety

В геометрия, Сорта Гессенберга, впервые изученный Филиппо де Мари, Клаудио Прочези, и Марк А. Шайман, являются семьей подмножества из полного разновидность флага которые определяются функцией Хессенберга час и линейное преобразованиеИкс. Изучение многообразий Гессенберга было сначала мотивировано вопросами в числовой анализ применительно к алгоритмам вычисления собственных значений и собственных подпространств линейного оператораИкс. Позже работа Т. А. Спрингер, Дейл Петерсон, Бертрам Костант, среди прочего, нашел связи с комбинаторика, теория представлений и когомология.

Определения

А Функция Хессенберга это карта

${\displaystyle h:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow \{1,2,\ldots ,n\}}$

такой, что

${\displaystyle h(i+1)\geq {\text{max }}(i,h(i))}$

для каждого я. Например, функция, которая отправляет числа от 1 до 5 (по порядку) в 2, 3, 3, 4 и 5, является функцией Хессенберга.

Для любой функции Хессенберга час и линейное преобразование

${\displaystyle X:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n},\,}$

то Сорт Гессенберг ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X,h)}$ это набор всех флагов ${\displaystyle F_{\bullet }}$ такой, что

${\displaystyle X\cdot F_{i}\subseteq F_{h(i)}}$

для всех я.

Примеры

Некоторые примеры многообразий Гессенберга (с их ${\displaystyle h}$ функция) включают:

Разновидность Full Flag: час(я) = п для всех я

В Сорт Петерсона: ${\displaystyle h(i)=i+1}$ за ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$

В Сорт Springer: ${\displaystyle h(i)=i}$ для всех ${\displaystyle i}$.

Рекомендации

• Де Мари, Филиппо; Прочези, Клаудио; Шайман, Марк А. (1992). «Разновидности Гессенберга». Труды Американского математического общества. 332 (2): 529–534. Дои:10.1090 / S0002-9947-1992-1043857-6. МИСТЕР  1043857.
• Бертрам Костант, Квантовые когомологии многообразий флагов, цепочка Тоды и представление со старшим весом ${\displaystyle \rho }$, Selecta Mathematica (Н.С.) 2, 1996, 43–91.
• Юлианна Тимочко, Линейные условия, накладываемые на многообразия флагов, Американский журнал математики 128 (2006), 1587–1604.