Котангенс тождества отшельников - Hermites cotangent identity

Не путать с Личность Эрмита, утверждение о дробных частях целых кратных действительных чисел.

В математика, Котангенсная идентичность Эрмита это тригонометрическая идентичность обнаружен Чарльз Эрмит.^[1] Предполагать а₁, ..., а_п находятся сложные числа, никакие два из которых не отличаются на целое число, кратноеπ. Позволять

${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$

(особенно, А_1,1, будучи пустой продукт, равно 1). потом

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$

Простейший нетривиальный пример - случайп = 2:

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).\,}$

Примечания и ссылки

1. Уоррен П. Джонсон, «Тригонометрические идентичности à la Hermite», Американский математический ежемесячный журнал, том 117, номер 4, апрель 2010 г., страницы 311–327