Семиугольный треугольник - Heptagonal triangle

Правильный семиугольник (с красными сторонами), его более длинные диагонали (зеленые) и более короткие диагонали (синие). Каждый из четырнадцати конгруэнтный семиугольные треугольники имеет одну зеленую сторону, одну синюю и одну красную сторону.

А семиугольный треугольник является тупой неравносторонний треугольник чья вершины совпадают с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольник (из произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной, а соседние короче и длиннее. диагонали правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники аналогичный (имеют одинаковую форму), поэтому все вместе они известны как то семиугольный треугольник. Его углы имеют размеры ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ и ${\displaystyle 4\pi /7,}$ и это единственный треугольник с углами в соотношении 1: 2: 4. У семиугольного треугольника есть несколько замечательных свойств.

Ключевые моменты

В семиугольном треугольнике центр девяти точек также его первый Брокард пойнт.^{[1]:Предложения. 12}

Вторая точка Брокара лежит на окружности из девяти точек.^{[2]:п. 19}

В центр окружности и Точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник.^{[1]:Thm. 22}

Расстояние между центром описанной окружности О и ортоцентр ЧАС дан кем-то^{[2]:п. 19}

${\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},}$

где р это по окружности. Квадрат расстояния от стимулятор я к ортоцентру^{[2]:п. 19}

${\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},}$

где р это inradius.

Две касательные от ортоцентра к описанной окружности взаимно перпендикуляр.^{[2]:п. 19}

Отношения расстояний

Стороны

Стороны семиугольного треугольника а < б < c совпадают соответственно со стороной правильного семиугольника, более короткой диагональю и большей диагональю. Они удовлетворяют^{[3]:Лемма 1}

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(c-b),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}}$

(последний^{[2]:п. 13} будучи оптическое уравнение ) и поэтому

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

и^{[3]:Коро. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.}$

Таким образом -б/c, c/а, и а/б все удовлетворяют кубическое уравнение

${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

Однако нет алгебраические выражения с чисто действительными членами существуют для решений этого уравнения, потому что это пример казус несокрушимый.

Примерное соотношение сторон:

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}}$

удовлетворить кубическое уравнение

${\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}}$

удовлетворить кубическое уравнение

${\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}}$

удовлетворить кубическое уравнение

${\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.}$

У нас также есть^{[2]:п. 14}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

и^{[2]:п. 15}

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle ab-bc+ca=0,}$

${\displaystyle a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,}$

${\displaystyle a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,}$

${\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.}$

Других нет (м, н), м, н > 0, м, н <2000, так что^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle a^{m}b^{n}\pm b^{m}c^{n}\pm c^{m}a^{n}=0.}$

Высоты

Высоты час_а, час_б, и час_c удовлетворить

${\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}}$^{[2]:п. 13}

и

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.}$^{[2]:п. 14}

Высота сбоку б (противоположный угол B) составляет половину биссектрисы внутреннего угла ${\displaystyle w_{A}}$ из А:^{[2]:п. 19}

${\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.}$

Здесь угол А наименьший угол, а B второй по размеру.

Биссектрисы внутреннего угла

У нас есть эти свойства биссектриса внутреннего угла ${\displaystyle w_{A},w_{B},}$ и ${\displaystyle w_{C}}$ углов А, Б, и C соответственно:^{[2]:п. 16}

${\displaystyle w_{A}=b+c,}$

${\displaystyle w_{B}=c-a,}$

${\displaystyle w_{C}=b-a.}$

Circumradius, inradius и exradius

Площадь треугольника^[5]

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},}$

где р это треугольник по окружности.

У нас есть^{[2]:п. 12}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.}$

У нас также есть^[6]

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.}$

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.}$

Соотношение р /р из inradius к описанному радиусу является положительным решением кубического уравнения^[5]

${\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.}$

К тому же,^{[2]:п. 15}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.}$

У нас также есть^[6]

${\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.}$

В общем для всех целых п,

${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}}$

где

${\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7}$

и

${\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).}$

У нас также есть^[6]

${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},}$

${\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},}$

${\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.}$

В Exradius р_а соответствующий стороне а равен радиусу круг из девяти точек семиугольного треугольника.^{[2]:п. 15}

Ортический треугольник

В семиугольном треугольнике ортический треугольник, с вершинами в основании высоты, является аналогичный в семиугольный треугольник с соотношением подобия 1: 2. Гептагональный треугольник - единственный тупой треугольник, который похож на свой ортогональный треугольник ( равносторонний треугольник единственный острый).^{[2]:стр. 12–13}

Тригонометрические свойства

Различные тригонометрические тождества связанные с семиугольным треугольником, включают:^{[2]:стр. 13–14[5]}

${\displaystyle A={\frac {\pi }{7}},\quad B={\frac {2\pi }{7}},\quad C={\frac {4\pi }{7}}.}$

${\displaystyle \cos A=b/2a,\quad \cos B=c/2b,\quad \cos C=-a/2c,}$^{[4]:Предложение 10}

${\displaystyle \cos A\cos B\cos C=-{\frac {1}{8}},}$

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C={\frac {5}{4}},}$

${\displaystyle \cos ^{4}A+\cos ^{4}B+\cos ^{4}C={\frac {13}{16}},}$

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C={\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}A+\cot ^{2}B+\cot ^{2}C=5,}$

${\displaystyle \csc ^{2}A+\csc ^{2}B+\csc ^{2}C=8,}$

${\displaystyle \csc ^{4}A+\csc ^{4}B+\csc ^{4}C=32,}$

${\displaystyle \sec ^{2}A+\sec ^{2}B+\sec ^{2}C=24,}$

${\displaystyle \sec ^{4}A+\sec ^{4}B+\sec ^{4}C=416,}$

${\displaystyle \sin A\sin B\sin C={\frac {\sqrt {7}}{8}},}$

${\displaystyle \sin ^{2}A\sin ^{2}B\sin ^{2}C={\frac {7}{64}},}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C={\frac {7}{4}},}$

${\displaystyle \sin ^{4}A+\sin ^{4}B+\sin ^{4}C={\frac {21}{16}},}$

${\displaystyle \tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=-{\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \tan ^{2}A+\tan ^{2}B+\tan ^{2}C=21.}$

Кубическое уравнение

${\displaystyle 64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0}$

есть решения^{[2]:п. 14} ${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi }{7}},\sin ^{2}{\frac {2\pi }{7}},}$ и ${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {4\pi }{7}},}$ которые являются квадратами синусов углов треугольника.

Положительное решение кубического уравнения

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0}$

равно ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}},}$ что в два раза больше косинуса одного из углов треугольника.^{[7]:п. 186–187}

Sin (2π / 7), sin (4π / 7) и sin (8π / 7) являются корнями^[4]

${\displaystyle x^{3}-{\frac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\frac {\sqrt {7}}{8}}=0.}$

У нас также есть:^[6]

${\displaystyle \sin A-\sin B-\sin C=-{\frac {\sqrt {7}}{2}},}$

${\displaystyle \sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0,}$

${\displaystyle \sin A\sin B\sin C={\frac {\sqrt {7}}{8}}.}$

${\displaystyle -\sin A,\sin B,\sin C{\text{ are the roots of }}x^{3}-{\frac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\frac {\sqrt {7}}{8}}=0.}$

Для целого числа п , позволять

${\displaystyle S(n)=(-\sin {A})^{n}+\sin ^{n}{B}+\sin ^{n}{C}.}$

За п = 0,...,20,

${\displaystyle S(n)=3,{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7}{2^{2}}},{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7\cdot 3}{2^{4}}},{\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}},{\frac {7\cdot 5}{2^{5}}},{\frac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}},{\frac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}},{\frac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}},}$

${\displaystyle {\frac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}},{\frac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}},{\frac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}},{\frac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}},{\frac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}},{\frac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}},{\frac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}},{\frac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}.}$

За п= 0, -1, ,..-20,

${\displaystyle S(n)=3,0,2^{3},-{\frac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}},2^{5},-{\frac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {2^{6}\cdot 17}{7}},-2^{7}{\sqrt {7}},{\frac {2^{9}\cdot 11}{7}},-{\frac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{10}\cdot 29}{7}},-{\frac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}},}$

${\displaystyle -{\frac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{14}\cdot 51}{7}},-{\frac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}},-{\frac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}},-{\frac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}.}$

${\displaystyle -\cos A,\cos B,\cos C{\text{ are the roots of }}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}=0.}$

Для целого числа п , позволять

${\displaystyle C(n)=(-\cos {A})^{n}+\cos ^{n}{B}+\cos ^{n}{C}.}$

За п= 0, 1, ,..10,

${\displaystyle C(n)=3,-{\frac {1}{2}},{\frac {5}{4}},-{\frac {1}{2}},{\frac {13}{16}},-{\frac {1}{2}},{\frac {19}{32}},-{\frac {57}{128}},{\frac {117}{256}},-{\frac {193}{512}},{\frac {185}{512}},...}$

${\displaystyle C(-n)=3,-4,24,-88,416,-1824,8256,-36992,166400,-747520,3359744,...}$

${\displaystyle \tan A,\tan B,\tan C{\text{ are the roots of }}x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0.}$

${\displaystyle \tan ^{2}A,\tan ^{2}B,\tan ^{2}C{\text{ are the roots of }}x^{3}-21x^{2}+35x-7=0.}$

Для целого числа п , позволять

${\displaystyle T(n)=\tan ^{n}{A}+\tan ^{n}{B}+\tan ^{n}{C}.}$

За п= 0, 1, ,..10,

${\displaystyle T(n)=3,-{\sqrt {7}},7\cdot 3,-31{\sqrt {7}},7\cdot 53,-7\cdot 87{\sqrt {7}},7\cdot 1011,-7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 2771,-7\cdot 32119{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 53189,}$

${\displaystyle T(-n)=3,{\sqrt {7}},5,{\frac {25{\sqrt {7}}}{7}},19,{\frac {103{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {563}{7}},7\cdot 9{\sqrt {7}},{\frac {2421}{7}},{\frac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {10435}{7}},...}$

У нас также есть^[6][8]

${\displaystyle \tan A-4\sin B=-{\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \tan B-4\sin C=-{\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \tan C+4\sin A=-{\sqrt {7}}.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle \cot ^{2}A=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}B=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}C=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}.}$

У нас также есть^[4]

${\displaystyle \cos A=-{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{\sqrt {7}}}\sin ^{3}C,}$

${\displaystyle \cos ^{2}A={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{\sqrt {7}}}\sin ^{3}A,}$

${\displaystyle \cot A={\frac {3}{\sqrt {7}}}+{\frac {4}{\sqrt {7}}}\cos B,}$

${\displaystyle \cot ^{2}A=3+{\frac {8}{\sqrt {7}}}\sin A,}$

${\displaystyle \cot A={\sqrt {7}}+{\frac {8}{\sqrt {7}}}\sin ^{2}B,}$

${\displaystyle \csc ^{3}A=-{\frac {6}{\sqrt {7}}}+{\frac {2}{\sqrt {7}}}\tan ^{2}C,}$

${\displaystyle \sec A=2+4\cos C,}$

${\displaystyle \sec A=6-8\sin ^{2}B,}$

${\displaystyle \sec A=4-{\frac {16}{\sqrt {7}}}\sin ^{3}B,}$

${\displaystyle \sin ^{2}A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos B,}$

${\displaystyle \sin ^{3}A=-{\frac {\sqrt {7}}{8}}+{\frac {\sqrt {7}}{4}}\cos B,}$

У нас также есть^[9]

${\displaystyle \sin ^{3}B\sin C-\sin ^{3}C\sin A-\sin ^{3}A\sin B=0,}$

${\displaystyle \sin B\sin ^{3}C-\sin C\sin ^{3}A-\sin A\sin ^{3}B={\frac {7}{2^{4}}},}$

${\displaystyle \sin ^{4}B\sin C-\sin ^{4}C\sin A+\sin ^{4}A\sin B=0,}$

${\displaystyle \sin B\sin ^{4}C+\sin C\sin ^{4}A-\sin A\sin ^{4}B={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}},}$

${\displaystyle \sin ^{11}B\sin ^{3}C-\sin ^{11}C\sin ^{3}A-\sin ^{11}A\sin ^{3}B=0,}$

${\displaystyle \sin ^{3}B\sin ^{11}C-\sin ^{3}C\sin ^{11}A-\sin ^{3}A\sin ^{11}B={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}.}$

У нас также есть тождества типа Рамануджана,^[10][11]

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

У нас также есть^[9]

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{7}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\sin({2\pi }{7}}}+{\sqrt[{3}]{2\sin({4\pi }{7}}}+{\sqrt[{3}]{2\sin({8\pi }{7}}}=\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{49}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {9\pi }{7}})}}=-3*{\sqrt[{3}]{7}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}}}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}=-61*{\sqrt[{3}]{7}}/8.}$

1. Пол Ю, «Гептагональные треугольники и их спутники», Форум Geometricorum 9, 2009, 125–148. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf
2. Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семигранный треугольник», Математический журнал 46 (1), январь 1973 г., стр. 7–19.
3. Абдилкадир Алтынтас, "Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике", Форум Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
4. Ван, Кай. «Гептагональный треугольник и тригонометрические тождества», Форум Geometricorum 19, 2019, 29–38.
5. Вайсштейн, Эрик У. «Гептагональный треугольник». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
6. Ван, Кай. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
7. Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). "Угловая секция, семиугольник и трехугольник" (PDF). Американский математический ежемесячник. 95 (3): 185–194. Дои:10.2307/2323624. Архивировано из оригинал (PDF) на 2015-12-19.
8. Ошибка цитирования: указанная ссылка Молл был вызван, но не определен (см. страница помощи).
9. Ошибка цитирования: указанная ссылка Wang3 был вызван, но не определен (см. страница помощи).
10. Ошибка цитирования: указанная ссылка Ван4 был вызван, но не определен (см. страница помощи).
11. Ошибка цитирования: указанная ссылка WS1 был вызван, но не определен (см. страница помощи).

^[1]

^[2]

^[3]

^[4]

^[5]

1. Кай Ван, «Гептагональный треугольник и тригонометрические тождества», Форум Geometricorum 19, 2019, 29-38. http://forumgeom.fau.edu/FG2019volume19/FG201904.pdf
2. Кай Ван, https://www.researchgate.net/publication/335392159_On_cubic_equations_with_zero_sums_of_cubic_roots_of_roots
3. Кай Ван, https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
4. Виктор Х. Молл, Элементарное тригонометрическое уравнение, https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007
5. Роман Витула и Дамиан Слота, Новые формулы типа Рамануджана и квазифибоначчи числа порядка 7, Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 10 (2007).