Лемма Адамара - Hadamards lemma

В математика, Лемма Адамара, названный в честь Жак Адамар, по сути, является формой первого порядка Теорема Тейлора, в котором мы можем выразить гладкую вещественнозначную функцию точно и удобно.

Заявление

Пусть ƒ - гладкая вещественнозначная функция, определенная на открытом, звездообразный район U точки а в п-мерное евклидово пространство. Тогда ƒ (Икс) можно выразить для всех Икс в U, в виде:

${\displaystyle f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)g_{i}(x),}$

где каждый грамм_я является гладкой функцией на U, а = (а₁, …, а_п), и Икс = (Икс₁, …, Икс_п).

Доказательство

Позволять Икс быть в U. Позволять час отображение из [0,1] в действительные числа, определяемые

${\displaystyle h(t)=f(a+t(x-a)).}$

Тогда, поскольку

${\displaystyle h'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right),}$

у нас есть

${\displaystyle h(1)-h(0)=\int _{0}^{1}h'(t)\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt.}$

Но, кроме того, час(1) − час(0) = ж(Икс) − ж(а), так что если мы позволим

${\displaystyle g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt,}$

мы доказали теорему.

Рекомендации

• Неструев, Джет (2002). Гладкие многообразия и наблюдаемые. Берлин: Springer. ISBN  0-387-95543-7.