Теорема Грунского - Grunskys theorem

В математика, Теорема Грунского, благодаря немецкому математику Гельмут Грунский, является результатом комплексный анализ касательно голоморфный однолистные функции определены на единичный диск в сложные числа. Теорема утверждает, что однолистная функция, определенная на единичном круге, фиксируя точку 0, отображает каждый диск | z | < р на звездный домен за р ≤ tanh π / 4. Самый большой р для которого это верно, называется радиус звездности функции.

Заявление

Позволять ж - однолистная голоморфная функция на единичном круге D такой, что ж(0) = 0. Тогда для всех р ≤ tanh π / 4, образ диска | z | < р является звездный относительно 0, т.е. инвариантно относительно умножения на действительные числа в (0,1).

Неравенство Грунского

Если ж(z) однозначно на D с ж(0) = 0, тогда

${\displaystyle \left|\log {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

Взяв действительную и мнимую части логарифма, получаем два неравенства

${\displaystyle \left|{zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+|z| \over 1-|z|}}$

и

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

Для фиксированных z, оба эти равенства достигаются подходящими Функции Кебе

${\displaystyle g_{w}(\zeta )={\zeta \over (1-{\overline {w}}\zeta )^{2}},}$

куда | w | = 1.

Доказательство

Грунский (1932) изначально эти неравенства были доказаны на основе экстремальной техники Людвиг Бибербах. Последующие доказательства, изложенные в Голузин (1939), полагался на Уравнение Лёвнера. Позднее были даны более элементарные доказательства, основанные на Неравенства Голузина, эквивалентная форма неравенств Грунского (1939) для Матрица Грунского.

Для однолистной функции грамм в z > 1 с расширением

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots .}$

Неравенства Голузина утверждают, что

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{j}\log {g(z_{i})-g(z_{j}) \over z_{i}-z_{j}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\log {z_{i}{\overline {z_{j}}} \over z_{i}{\overline {z_{j}}}-1},}$

где z_я различные точки с |z_я| > 1 и λ_я - произвольные комплексные числа.

Принимая п = 2. с λ₁ = - λ₂ = λ, из неравенства следует

${\displaystyle \left|\log {g^{\prime }(\zeta )g^{\prime }(\eta )(\zeta -\eta )^{2} \over (g(\zeta )-g(\eta ))^{2}}\right|\leq \log {|1-\zeta {\overline {\eta }}|^{2} \over (|\zeta |^{2}-1)(|\eta |^{2}-1)}.}$

Если грамм - нечетная функция и η = - ζ, отсюда следует

${\displaystyle \left|\log {\zeta g^{\prime }(\zeta ) \over g(\zeta )}\right|\leq {|\zeta |^{2}+1 \over |\zeta |^{2}-1}.}$

Наконец, если ж - любая нормализованная однолистная функция в D, требуемое неравенство для ж следует, взяв

${\displaystyle g(\zeta )=f(\zeta ^{-2})^{-{1 \over 2}}}$

с ${\displaystyle z=\zeta ^{-2}.}$

Доказательство теоремы

Позволять ж быть однолистной функцией на D с ж(0) = 0. По Критерий Неванлинны, ж звездный на | z | < р если и только если

${\displaystyle \Re {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\geq 0}$

за | z | < р. Эквивалентно

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {\pi \over 2}.}$

С другой стороны, по неравенству Грунского выше,

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

Таким образом, если

${\displaystyle \log {1+|z| \over 1-|z|}\leq {\pi \over 2},}$

неравенство выполняется при z. Это условие эквивалентно

${\displaystyle |z|\leq \tanh {\pi \over 4}}$

и поэтому ж звездообразно на любом диске | z | < р с р ≤ tanh π / 4.

Рекомендации

• Дурен, П. Л. (1983), Унивалентные функции, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, стр. 95–98, ISBN  0-387-90795-5
• Голузин, Г. (1939), «Внутренние проблемы теории однолистных функций», Успехи матем. Наук, 6: 26–89 (на русском)
• Голузин, Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного, Переводы математических монографий, 26, Американское математическое общество
• Гудман, А. (1983), Унивалентные функции, я, Маринер Паблишинг Ко., ISBN  0-936166-10-X
• Гудман, А. (1983), Унивалентные функции, II, Маринер Паблишинг Ко., ISBN  0-936166-11-8
• Грунский, Х. (1932), "Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche (вступительная диссертация)", Schr. Математика. Inst. U. Inst. Энгью. Математика. Univ. Берлин, 1: 95–140, архивировано с оригинал на 2015-02-11, получено 2011-12-07 (на немецком)
• Грунский, Х. (1934), "Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung", Jber. Deutsch. Math.-Verein., 43: 140–143 (на немецком)
• Хейман, В. К. (1994), Многовалентные функции, Кембриджские трактаты по математике, 110 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-46026-3
• Неванлинна, Р. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Öfvers. Finska Vet. Soc. Для ч., 53: 1–21
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht