Сгруппированное распределение Дирихле - Grouped Dirichlet distribution

В статистика, то сгруппированное распределение Дирихле (GDD) является многомерным обобщением Распределение Дирихле Впервые он был описан Ng et al 2008.^[1] Сгруппированное распределение Дирихле возникает при анализе категориальных данных, когда некоторые наблюдения могут попасть в любую из набора других «четких» категорий. Например, у одного может быть набор данных, состоящий из наблюдений и контроля при двух разных условиях. С полными данными перекрестная классификация статуса заболевания формирует таблицу 2 (случай / контроль) -x- (состояние / отсутствие состояния) с вероятностями ячеек.

	Уход	Без лечения
Управление	θ1	θ2
Случаи	θ3	θ4

Если, однако, данные включают, скажем, не респондентов, которые, как известно, относятся к контрольной группе или случаям, тогда перекрестная классификация статуса болезни формирует таблицу 2-x-3. Вероятность последнего столбца - это сумма вероятностей первых двух столбцов в каждой строке, например

	Уход	Без лечения	Отсутствует
Управление	θ1	θ2	θ1+ θ2
Случаи	θ3	θ4	θ3+ θ4

GDD позволяет полностью оценить вероятности сот при таких условиях агрегирования.^[1]

Распределение вероятностей

Рассмотрим замкнутое симплексное множество ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots x_{n}\right)\left|x_{i}\geq 0,i=1,\cdots ,n,\sum _{i=1}^{n}x_{n}=1\right.\right\}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {T}}_{n}}$. Письмо ${\displaystyle \mathbf {x} _{-n}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n-1}\right)}$ во-первых ${\displaystyle n-1}$ элементы члена ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}}$, распределение ${\displaystyle \mathbf {x} }$ для двух разделов имеет функцию плотности, заданную как

${\displaystyle \operatorname {GD} _{n,2,s}\left(\left.\mathbf {x} _{-n}\right|\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)={\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}-1}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{s}x_{i}\right)^{b_{1}}\cdot \left(\sum _{i=s+1}^{n}x_{i}\right)^{b_{2}}}{\operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{1},\ldots ,a_{s}\right)\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{s+1},\ldots ,a_{n}\right)\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(b_{1}+\sum _{i=1}^{s}a_{i},b_{2}+\sum _{i=s+1}^{n}a_{i}\right)}}}$

куда ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } \left(\mathbf {a} \right)}$ это многомерная бета-функция.

Нг и др.^[1] продолжил определение м сгруппированное распределение Дирихле с плотностью ${\displaystyle \mathbf {x} _{-n}}$ данный

${\displaystyle \operatorname {GD} _{n,m,\mathbf {s} }\left(\left.\mathbf {x} _{-n}\right|\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)=c_{m}^{-1}\cdot \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}-1}\right)\cdot \prod _{j=1}^{m}\left(\sum _{k=s_{j-1}+1}^{s_{j}}x_{k}\right)^{b_{j}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},\ldots ,s_{m}\right)}$ вектор целых чисел с ${\displaystyle 0=s_{0}<s_{1}\leqslant \cdots \leqslant s_{m}=n}$. Нормирующая константа, задаваемая

${\displaystyle c_{m}=\left\{\prod _{j=1}^{m}\operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{s_{j-1}+1},\ldots ,a_{s_{j}}\right)\right\}\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(b_{1}+\sum _{k=1}^{s_{1}}a_{k},\ldots ,b_{m}+\sum _{k=s_{m-1}+1}^{s_{m}}a_{k}\right)}$

Далее авторы использовали эти распределения в контексте трех различных приложений в медицине.

Рекомендации

1. Нг, Кай Ван (2008). «Сгруппированное распределение Дирихле: новый инструмент для неполного категориального анализа данных». Журнал многомерного анализа. 99: 490–509.