Постоянная Гомперца - Gompertz constant

В математика, то Постоянная Гомперца или же Постоянная Эйлера – Гомперца, обозначаемый ${\displaystyle G}$, появляется в интегральных оценках и как значение специальные функции. Он назван в честь Б. Гомпертц.

Его можно определить как непрерывная дробь

${\displaystyle G={\frac {1}{2-{\frac {1}{4-{\frac {4}{6-{\frac {9}{8-{\frac {16}{10-{\frac {25}{12-{\frac {36}{14-{\frac {49}{16-\dots }}}}}}}}}}}}}}}},}$

или, альтернативно,

${\displaystyle G={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {2}{1+{\frac {2}{1+{\frac {3}{1+{\frac {3}{1+{\frac {4}{1+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Наиболее частое появление ${\displaystyle G}$ находится в следующих интегралах:

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\log(x)}}dx.}$

Числовое значение ${\displaystyle G}$ около

${\displaystyle G=0.596347362323194074341078499369279376074\dots }$

Когда Эйлер изучал расходящиеся бесконечные ряды, он столкнулся с ${\displaystyle G}$ через, например, указанные выше интегральные представления. Le Lionnais называется ${\displaystyle G}$ постоянная Гомперца из-за ее роли в анализ выживаемости.^[1]

В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере один из Константа Эйлера – Маскерони а постоянная Эйлера – Гомперца равна иррациональный. Этот результат был улучшен в 2012 году Танги Ривоал, где он доказал, что по крайней мере один из них трансцендентный.^[2][3][4]

Тождества с участием постоянной Гомперца

Постоянная ${\displaystyle G}$ может быть выражено экспоненциальный интеграл в качестве

${\displaystyle G=-e{\textrm {Ei}}(-1).}$

Применяя разложение Тейлора ${\displaystyle {\textrm {Ei}}}$ у нас есть представление серии

${\displaystyle G=-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}$

Постоянная Гомперца связана с Коэффициенты Грегори по формуле 2013 г. И. Мезо:^[5]

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.}$

внешняя ссылка

• Вольфрам MathWorld
• Запись OEIS

Примечания

1. Финч, Стивен Р. (2003). Математические константы. Издательство Кембриджского университета. С. 425–426.
2. Аптекарев А.И. (28.02.2009). «О линейных формах, содержащих постоянную Эйлера». arXiv:0902.1768 [math.NT ].
3. Ривоал, Танги (2012). «Об арифметической природе значений гамма-функции, постоянной Эйлера и постоянной Гомперца». Мичиганский математический журнал. 61 (2): 239–254. Дои:10.1307 / mmj / 1339011525. ISSN  0026-2285.
4. Лагариас, Джеффри К. (19 июля 2013 г.). «Константа Эйлера: работы Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества. 50 (4): 527–628. arXiv:1303.1856. Дои:10.1090 / S0273-0979-2013-01423-X. ISSN  0273-0979. S2CID  119612431.
5. Мезо, Иштван (2013). «Константа Гомперца, коэффициенты Грегори и ряд функции логарифма». Журнал анализа и теории чисел (7): 1–4.