Теорема Гиббардса - Gibbards theorem

В областях конструкция механизма и теория социального выбора, Теорема Гиббарда это результат, доказанный философом Аллан Гиббард в 1973 г.^[1] В нем говорится, что для любого детерминированного процесса коллективного решения должно выполняться по крайней мере одно из следующих трех свойств:

Процесс является диктаторским, то есть существует выдающийся агент, который может навязывать результат;
Процесс ограничивает возможные результаты только двумя вариантами;
Процесс открыт для стратегическое голосование: как только агент определил свои предпочтения, возможно, что в его распоряжении нет действия, которое наилучшим образом защищает эти предпочтения, независимо от действий других агентов.

Следствием этой теоремы является Теорема Гиббарда – Саттертуэйта о правилах голосования. Основное различие между ними состоит в том, что теорема Гиббарда – Саттертуэйта ограничена рейтинговые (порядковые) правила голосования: действие избирателя состоит в том, чтобы отдать предпочтение доступным вариантам. Теорема Гиббарда является более общей и рассматривает процессы коллективного решения, которые могут не быть порядковыми: например, системы голосования, в которых избиратели выставляют оценки кандидатам. Теорема Гиббарда может быть доказана с помощью Теорема о невозможности Эрроу.

Теорема Гиббарда обобщается следующим образом: Теорема Гиббарда 1978 г.^[2] и Теорема Хилланда, которые распространяют эти результаты на недетерминированные процессы, то есть где результат может не только зависеть от действий агентов, но также может включать элемент случайности.

Обзор

Рассмотрим некоторых избирателей ${ displaystyle 1}$ , ${ displaystyle 2}$ и ${ displaystyle 3}$ кто желает выбрать один из трех вариантов: ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle c}$ . Предположим, они используют одобрительное голосование: каждый избиратель присваивает каждому кандидату оценку 1 (одобрение) или 0 (неодобрение). Например, ${ displaystyle (1,1,0)}$ авторизованный бюллетень: это означает, что избиратель одобряет кандидатов ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ но не одобряет кандидата ${ displaystyle c}$ . После сбора бюллетеней победителем объявляется кандидат с наивысшей общей оценкой. Связи между кандидатами разрываются в алфавитном порядке: например, если между кандидатами есть равенство. ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ , тогда ${ displaystyle a}$ побеждает.

Предположим, что избиратель ${ displaystyle 1}$ предпочитает альтернативу ${ displaystyle a}$ , тогда ${ displaystyle b}$ а потом ${ displaystyle c}$ . Какой бюллетень лучше всего защитит ее мнение? Например, рассмотрим две следующие ситуации.

Если два других избирателя соответственно проголосовали ${ Displaystyle (0,1,1)}$ и ${ Displaystyle (1,1,1)}$ , затем избиратель ${ displaystyle 1}$ имеет только один бюллетень, который приводит к избранию ее любимой альтернативы ${ displaystyle a}$ : ${ displaystyle (1,0,0)}$ .
Однако, если мы предположим, что два других избирателя соответственно проголосовали ${ Displaystyle (0,0,1)}$ и ${ Displaystyle (0,1,1)}$ , затем избиратель ${ displaystyle 1}$ не должен голосовать ${ displaystyle (1,0,0)}$ потому что это делает ${ displaystyle c}$ победить; ей лучше проголосовать ${ displaystyle (1,1,0)}$ , что делает ${ displaystyle b}$ победить.

Подводя итог, избиратель ${ displaystyle 1}$ стоит перед стратегической дилеммой голосования: в зависимости от бюллетеней, которые будут отданы другим избирателям, ${ displaystyle (1,0,0)}$ или же ${ displaystyle (1,1,0)}$ может быть бюллетенем, который лучше всего защищает ее мнение. Затем мы говорим, что одобрительное голосование не простой : как только избиратель определил свои собственные предпочтения, в ее распоряжении нет бюллетеня, который наилучшим образом защищает ее мнение во всех ситуациях.

Теорема Гиббарда утверждает, что детерминированный процесс коллективного решения не может быть простым, за исключением, возможно, двух случаев: если есть выдающийся агент, обладающий диктаторской властью, или если процесс ограничивает исход только двумя возможными вариантами.

Официальное заявление

Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ быть набором альтернативы, который также можно назвать кандидаты в контексте голосования. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {N}} = {1, ldots, п }}$ быть набором агенты, который также можно назвать игроки или же избиратели, в зависимости от контекста приложения. Для каждого агента ${ displaystyle i}$ , позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {я}}$ быть набором, который представляет доступные стратегии для агента ${ displaystyle i}$ ; предположить, что ${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {я}}$ конечно. Позволять ${ displaystyle g}$ быть функцией, которая для каждого ${ displaystyle n}$ -набор стратегий ${ displaystyle (s_ {1}, ldots, s_ {n}) in { mathcal {S}} _ {1} times cdots times { mathcal {S}} _ {n}}$ , отображает альтернативу. Функция ${ displaystyle g}$ называется игровая форма. Другими словами, игровая форма по сути определяется как п-игровая игра, но без служебных программ, связанных с возможными результатами: он описывает только процедуру, без указания априори прибыль, которую каждый агент получит от каждого результата.

Мы говорим что ${ displaystyle g}$ является простой если и только если для любого агента ${ displaystyle i}$ и для любого строгий слабый порядок ${ displaystyle P_ {i}}$ над альтернативами существует стратегия ${ displaystyle s_ {i} ^ {*} (P_ {i})}$ то есть доминирующий для агента ${ displaystyle i}$ когда у нее есть предпочтения ${ displaystyle P_ {i}}$ : нет профиля стратегий для других агентов, такого что другая стратегия ${ displaystyle s_ {i}}$ , отличается от ${ displaystyle s_ {i} ^ {*} (P_ {i})}$ , приведет к строго лучшему результату (в смысле ${ displaystyle P_ {i}}$ ). Это свойство желательно для демократического процесса принятия решений: оно означает, что однажды агент ${ displaystyle i}$ определила свои предпочтения ${ displaystyle P_ {i}}$ , она может выбрать стратегию ${ displaystyle s_ {i} ^ {*} (P_ {i})}$ который лучше всего защищает ее предпочтения, без необходимости знать или угадывать стратегии, выбранные другими агентами.

Мы позволяем ${ Displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {S}} _ {1} times cdots times { mathcal {S}} _ {n}}$ и обозначим через ${ displaystyle g ({ mathcal {S}})}$ диапазон ${ displaystyle g}$ , т.е. множество возможные результаты игровой формы. Например, мы говорим, что ${ displaystyle g}$ имеет по крайней мере 3 возможных результата тогда и только тогда, когда мощность ${ displaystyle g ({ mathcal {S}})}$ составляет 3 и более. Поскольку наборы стратегий конечны, ${ displaystyle g ({ mathcal {S}})}$ конечно также; таким образом, даже если множество альтернатив ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ не предполагается конечным, подмножество возможных результатов ${ displaystyle g ({ mathcal {S}})}$ обязательно так.

Мы говорим что ${ displaystyle g}$ является диктаторский тогда и только тогда, когда существует агент ${ displaystyle i}$ кто такой диктатор, в том смысле, что для любого возможного исхода ${ Displaystyle а в г ({ mathcal {S}})}$ , агент ${ displaystyle i}$ имеет в своем распоряжении стратегию, которая гарантирует, что результат ${ displaystyle a}$ независимо от стратегий, выбранных другими агентами.

Теорема Гиббарда — Если форма игры не является диктаторской и имеет по крайней мере 3 возможных исхода, то это непросто.

Примеры

Серийная диктатура

Мы предполагаем, что каждый избиратель сообщает строгий слабый порядок над кандидатами. В серийная диктатура определяется следующим образом. Если у избирателя 1 есть единственный наиболее понравившийся кандидат, то этот кандидат считается избранным. В противном случае возможные исходы ограничиваются его наиболее понравившимися кандидатами ex-aequo, а другие кандидаты исключаются. Затем проверяется бюллетень второго избирателя: если среди невыбранных у него есть единственный наиболее понравившийся кандидат, то этот кандидат избирается. В противном случае список возможных исходов снова сокращается и т. Д. Если после проверки всех бюллетеней остается несколько невыбранных кандидатов, то используется произвольное правило разделения голосов.

Эта форма игры проста: какими бы ни были предпочтения избирателя, у него есть доминирующая стратегия, заключающаяся в объявлении своего искреннего порядка предпочтений. Он также является диктаторским, и его диктатор - избиратель 1: если он хочет видеть кандидата ${ displaystyle a}$ избран, то он просто должен сообщить порядок предпочтений, где ${ displaystyle a}$ - единственный кандидат, который больше всего нравится.

Голосование простым большинством

Если есть только 2 возможных исхода, форма игры может быть простой, а не диктаторской. Например, это случай простого большинства голосов: каждый избиратель голосует за наиболее понравившуюся ему альтернативу (из двух возможных результатов), и альтернатива с наибольшим количеством голосов объявляется победителем. Эта форма игры проста, потому что всегда оптимально голосовать за наиболее понравившуюся альтернативу (если только один из них не безразличен). Однако это явно не диктаторский характер. Многие другие формы игры просты и не диктаторские: например, предположим, что альтернативный ${ displaystyle a}$ выигрывает, если получает две трети голосов, и ${ displaystyle b}$ в противном случае выигрывает.

Игровая форма, показывающая, что обратное неверно

Рассмотрим следующую игровую форму. Избиратель 1 может проголосовать за кандидата по своему выбору или воздержаться. В первом случае автоматически выбирается указанный кандидат. В противном случае другие избиратели используют классическое правило голосования, например Граф Борда. Эта форма игры явно диктаторская, потому что избиратель 1 может навязывать результат. Однако это непросто: другие избиратели сталкиваются с той же проблемой стратегического голосования, что и при обычном подсчете Борда. Таким образом, теорема Гиббарда - это импликация, а не эквивалентность.

Примечания и ссылки

^ Гиббард, Аллан (1973). «Манипулирование схемами голосования: общий результат» (PDF). Econometrica. 41 (4): 587–601. Дои:10.2307/1914083. JSTOR 1914083.
^ Гиббард, Аллан (1978). «Прямолинейность игровых форм с лотереями в качестве результата» (PDF). Econometrica. 46 (3): 595–614. Дои:10.2307/1914235.

Смотрите также

[1] Гиббард, Аллан (1973). «Манипулирование схемами голосования: общий результат» (PDF). Econometrica. 41 (4): 587–601. Дои:10.2307/1914083. JSTOR 1914083.

[2] Гиббард, Аллан (1978). «Прямолинейность игровых форм с лотереями в качестве результата» (PDF). Econometrica. 46 (3): 595–614. Дои:10.2307/1914235.

[1]

[2]