Геодезическое отклонение - Geodesic deviation

В общая теория относительности, геодезическое отклонение описывает тенденцию объектов приближаться или удаляться друг от друга при движении под воздействием пространственно изменяющихся гравитационное поле. Иными словами, если два объекта приводятся в движение по двум изначально параллельным траекториям, наличие приливная гравитационная сила приведет к изгибу траекторий навстречу или от друг друга, создавая относительный ускорение между объектами.^[1]

Математически приливная сила в общей теории относительности описывается Тензор кривизны Римана,^[1] а траектория движения объекта исключительно под действием силы тяжести называется геодезический. В уравнение геодезического отклонения связывает тензор кривизны Римана с относительным ускорением двух соседних геодезических. В дифференциальная геометрия, уравнение геодезического отклонения более известно как Уравнение Якоби.

Математическое определение

Чтобы количественно оценить геодезическое отклонение, нужно начать с создания семейства близко расположенных геодезических, индексированных непрерывной переменной. s и параметризуется аффинный параметр τ. То есть для каждого фиксированного sкривая, заметаемая γ_s(τ) при изменении τ является геодезической. При рассмотрении геодезической массивного объекта часто бывает удобно выбрать τ в качестве значения объекта. подходящее время. Если Икс^μ(s, τ) - координаты геодезической γ_s(τ), то касательный вектор этой геодезической

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

Если τ - собственное время, то Т^μ это четыре скорости объекта, движущегося по геодезической.

Также можно определить вектор отклонения, который представляет собой смещение двух объектов, движущихся по двум бесконечно удаленным геодезическим:

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

В относительное ускорение А^μ двух объектов определяется, грубо говоря, как вторая производная вектора разделения Икс^μ по мере продвижения объектов по своим геодезическим. Конкретно, А^μ находится путем взятия направленного ковариантная производная из Икс вдоль Т дважды:

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }).}$

Уравнение геодезического отклонения связывает А^μ, Т^μ, Икс^μ, а тензор Римана р^μ_νρσ:^[2]

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Альтернативное обозначение ковариантной производной по направлению ${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$ является ${\displaystyle D/d\tau }$, поэтому уравнение геодезического отклонения также можно записать как

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Уравнение геодезического отклонения может быть получено из второй вариант точечной частицы Лагранжиан по геодезическим или из первой вариации комбинированного лагранжиана.^{[требуется разъяснение ]} У лагранжевого подхода есть два преимущества. Во-первых, он позволяет использовать различные формальные подходы квантование для применения в системе геодезических отклонений. Во-вторых, он позволяет сформулировать отклонение для гораздо более общих объектов, чем геодезические (любые динамическая система который имеет один пространство-время индексированный импульс, по-видимому, имеет соответствующее обобщение геодезического отклонения).^{[нужна цитата ]}

Предел слабого поля

Связь между геодезическим отклонением и приливным ускорением можно более четко увидеть, исследуя геодезическое отклонение в предел слабого поля, где метрика приблизительно равна Минковскому, а скорости пробных частиц предполагаются намного меньше, чем c. Тогда касательный вектор Т^μ приблизительно (1, 0, 0, 0); т.е. отлична от нуля только времениподобная компонента.

Тогда пространственные компоненты относительного ускорения определяются выражением

${\displaystyle A^{i}=-{R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

куда я и j пробегают только пространственные индексы 1, 2 и 3.

В частном случае метрики, соответствующей ньютоновскому потенциалу Φ (Икс, у, z) массивного объекта на Икс = у = z = 0 имеем

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

какой приливный тензор ньютоновского потенциала.

Смотрите также

• Бернхард Риманн
• Кривизна
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Рекомендации

1. Оганян, Ганс (1976). Гравитация и пространство-время (1-е изд.). С. 271–6.
2. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия. С. 144–6.

• Стефани, Ганс (1982), Общая теория относительности - введение в теорию гравитационного поля, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-37066-3.
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, ISBN  978-0-226-87033-5.

внешняя ссылка

• Общая теория относительности и квантовая космология
• Тензоры и относительность: геодезическое отклонение