Геодезическая выпуклость - Geodesic convexity

В математика - в частности, в Риманова геометрия — геодезическая выпуклость является естественным обобщением выпуклость для множеств и функции к Римановы многообразия. Обычно префикс «геодезический» опускают и относятся просто к «выпуклости» набора или функции.

Определения

Позволять (M, грамм) - риманово многообразие.

Подмножество C из M считается геодезически выпуклое множество если, учитывая любые два очка в C, существует уникальная минимизирующая геодезический содержащиеся в C это объединяет эти два момента.
Позволять C - геодезически выпуклое подмножество M. Функция ${ displaystyle f: C to mathbf {R}}$ называется (строго) геодезически выпуклая функция если композиция

{ displaystyle f circ gamma: [0, T] to mathbf {R}}

является (строго) выпуклой функцией в обычном смысле для любой геодезической дуги единичной скорости γ : [0, Т] → M содержащиеся в C.

Геодезически выпуклое риманово многообразие (подмножество a) также является выпуклое метрическое пространство относительно геодезического расстояния.

Подмножество п-размерный Евклидово пространство E^п со своей обычной плоской метрикой является геодезически выпуклой если и только если он выпуклый в обычном смысле, и аналогично для функций.
"Северное полушарие" двумерной сферы. S² со своей обычной метрикой является геодезически выпуклым. Однако подмножество А из S² состоящий из тех точек с широта севернее 45 ° ю. нет геодезически выпуклый, так как минимизирующая геодезическая (большой круг ) дуга, соединяющая две различные точки на южной границе А листья А (например, в случае двух точек, разнесенных на 180 ° в долгота, геодезическая дуга проходит над южным полюсом).