Обобщенные силы - Generalized forces

Обобщенные силы найти применение в Лагранжева механика, где они играют роль, сопряженную с обобщенные координаты. Они получаются от приложенных сил, F_я, i = 1, ..., n, действующее на система конфигурация которого определена в терминах обобщенные координаты. В постановке виртуальная работа, каждая обобщенная сила является коэффициентом вариации обобщенной координаты.

Виртуальная работа

Обобщенные силы можно получить из расчета виртуальная работа, δW, приложенных сил.^[1]:265

Виртуальная работа сил, F_я, действуя на частицы P_я, i = 1, ..., n, определяется выражением

${displaystyle delta W=sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}cdot delta mathbf {r} _{i}}$

где δр_я это виртуальное смещение частицы P_я.

Обобщенные координаты

Пусть векторы положения каждой из частиц, р_я, - функция обобщенных координат, q_j, j = 1, ..., м. Тогда виртуальные перемещения δр_я даны

${displaystyle delta mathbf {r} _{i}=sum _{j=1}^{m}{frac {partial mathbf {r} _{i}}{partial q_{j}}}delta q_{j},quad i=1,ldots ,n,}$

где δq_j - виртуальное смещение обобщенной координаты q_j.

Виртуальная работа для системы частиц становится

${displaystyle delta W=mathbf {F} _{1}cdot sum _{j=1}^{m}{frac {partial mathbf {r} _{1}}{partial q_{j}}}delta q_{j}+ldots +mathbf {F} _{n}cdot sum _{j=1}^{m}{frac {partial mathbf {r} _{n}}{partial q_{j}}}delta q_{j}.}$

Соберите коэффициенты при δq_j так что

${displaystyle delta W=sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}cdot {frac {partial mathbf {r} _{i}}{partial q_{1}}}delta q_{1}+ldots +sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}cdot {frac {partial mathbf {r} _{i}}{partial q_{m}}}delta q_{m}.}$

Обобщенные силы

Виртуальную работу системы частиц можно записать в виде

${displaystyle delta W=Q_{1}delta q_{1}+ldots +Q_{m}delta q_{m},}$

куда

${displaystyle Q_{j}=sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}cdot {frac {partial mathbf {r} _{i}}{partial q_{j}}},quad j=1,ldots ,m,}$

называются обобщенными силами, связанными с обобщенными координатами q_j, j = 1, ..., м.

Формулировка скорости

При применении принципа виртуальной работы часто удобно получать виртуальные перемещения из скоростей системы. Для системы из n частиц пусть скорость каждой частицы P_я быть V_я, то виртуальное смещение δр_я также можно записать в виде^[2]

${displaystyle delta mathbf {r} _{i}=sum _{j=1}^{m}{frac {partial mathbf {V} _{i}}{partial {dot {q}}_{j}}}delta q_{j},quad i=1,ldots ,n.}$

Это означает, что обобщенная сила Q_j, также можно определить как

${displaystyle Q_{j}=sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}cdot {frac {partial mathbf {V} _{i}}{partial {dot {q}}_{j}}},quad j=1,ldots ,m.}$

Принцип Даламбера

Даламбер сформулировал динамику частицы как равновесие приложенных сил с силой инерции (кажущаяся сила ), называется Принцип Даламбера. Сила инерции частицы, P_я, массой m_я является

${displaystyle mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}mathbf {A} _{i},quad i=1,ldots ,n,}$

куда А_я - ускорение частицы.

Если конфигурация системы частиц зависит от обобщенных координат q_j, j = 1, ..., m, то обобщенная сила инерции определяется выражением

${displaystyle Q_{j}^{*}=sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}^{*}cdot {frac {partial mathbf {V} _{i}}{partial {dot {q}}_{j}}},quad j=1,ldots ,m.}$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера дает

${displaystyle delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})delta q_{1}+ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})delta q_{m}.}$

Рекомендации

1. Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Продвинутая динамика для инженеров. Серия HRW в машиностроении. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN  0-03-063366-4.
2. Т. Р. Кейн и Д. А. Левинсон, Динамика, теория и приложения, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 2005.

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Обобщенные координаты
• Степени свободы (физика и химия)
• Виртуальная работа