Лемма Гаусса (риманова геометрия) - Gausss lemma (Riemannian geometry)

Эта статья посвящена лемме Гаусса в римановой геометрии. Для использования в других целях см. Лемма Гаусса.

В Риманова геометрия, Лемма Гаусса утверждает, что любой достаточно малый сфера с центром в точке Риманово многообразие перпендикулярно каждому геодезический через точку. Более формально, пусть M быть Риманово многообразие, оборудованный своим Леви-Чивита связь, и п точка M. В экспоненциальная карта отображение из касательное пространство в п к M:

${\displaystyle \mathrm {exp} :T_{p}M\to M}$

который является диффеоморфизм в окрестности нуля. Лемма Гаусса утверждает, что образ сфера достаточно малого радиуса в Т_пM под экспоненциальным отображением перпендикулярно всем геодезические происходящий из п. Лемма позволяет понимать экспоненциальное отображение как радиальное изометрия, и имеет фундаментальное значение при изучении геодезических выпуклость и нормальные координаты.

Вступление

Определим экспоненциальное отображение при ${\displaystyle p\in M}$ к

${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset B_{\epsilon }(0)\longrightarrow M,\quad v\longmapsto \gamma _{p,v}(1),}$

куда ${\displaystyle \gamma _{p,v}}$ уникальный геодезический с ${\displaystyle \gamma _{p,v}(0)=p}$ и касательная ${\displaystyle \gamma _{p,v}'(0)=v\in T_{p}M}$ и ${\displaystyle \epsilon }$ выбирается достаточно малым, чтобы для каждого ${\displaystyle v\in B_{\epsilon }(0)\subset T_{p}M}$ геодезический ${\displaystyle \gamma _{p,v}}$ определено в 1. Итак, если ${\displaystyle M}$ полна, то Теорема Хопфа – Ринова., ${\displaystyle \exp _{p}}$ определена на всем касательном пространстве.

Позволять ${\displaystyle \alpha :I\rightarrow T_{p}M}$ - кривая, дифференцируемая в ${\displaystyle T_{p}M}$ такой, что ${\displaystyle \alpha (0):=0}$ и ${\displaystyle \alpha '(0):=v}$. С ${\displaystyle T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}$, ясно, что мы можем выбрать ${\displaystyle \alpha (t):=vt}$. В этом случае по определению дифференциала экспоненты по ${\displaystyle 0}$ применяется над ${\displaystyle v}$, мы получаем:

${\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.}$

Итак (с правильной идентификацией ${\displaystyle T_{0}T_{p}M\cong T_{p}M}$) дифференциал ${\displaystyle \exp _{p}}$ это личность. По теореме о неявной функции ${\displaystyle \exp _{p}}$ является диффеоморфизмом в окрестности точки ${\displaystyle 0\in T_{p}M}$. Лемма Гаусса теперь говорит, что ${\displaystyle \exp _{p}}$ также является радиальной изометрией.

Экспоненциальное отображение - это радиальная изометрия

Позволять ${\displaystyle p\in M}$. Далее мы производим отождествление ${\displaystyle T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}$.

Лемма Гаусса утверждает: Позволять ${\displaystyle v,w\in B_{\epsilon }(0)\subset T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M}$ и ${\displaystyle M\ni q:=\exp _{p}(v)}$. Потом, ${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle _{q}=\langle v,w\rangle _{p}.}$

За ${\displaystyle p\in M}$, эта лемма означает, что ${\displaystyle \exp _{p}}$ является радиальной изометрией в следующем смысле: пусть ${\displaystyle v\in B_{\epsilon }(0)}$, т.е. такие, что ${\displaystyle \exp _{p}}$ хорошо определено. И разреши ${\displaystyle q:=\exp _{p}(v)\in M}$. Тогда экспоненциальная ${\displaystyle \exp _{p}}$ остается изометрией в ${\displaystyle q}$, и, в более общем смысле, по всей геодезической ${\displaystyle \gamma }$ (поскольку ${\displaystyle \gamma (1,p,v)=\exp _{p}(v)}$ хорошо определено)! Затем радиально во всех направлениях, разрешенных областью определения ${\displaystyle \exp _{p}}$, это остается изометрией.

Экспоненциальное отображение как радиальная изометрия

Доказательство

Напомним, что

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}\colon T_{p}M\cong T_{v}T_{p}M\supset T_{v}B_{\epsilon }(0)\longrightarrow T_{\exp _{p}(v)}M.}$

Мы выполняем три шага:

• ${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)=v}$ : построим кривую

${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} \supset I\rightarrow T_{p}M}$ такой, что ${\displaystyle \alpha (0):=v\in T_{p}M}$ и ${\displaystyle \alpha '(0):=v\in T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M}$. С ${\displaystyle T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}$, мы можем положить ${\displaystyle \alpha (t):=v(t+1)}$. Следовательно,

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(tv){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1}=\Gamma (\gamma )_{p}^{\exp _{p}(v)}v=v,}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ является параллельным транспортным оператором и ${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$. Последнее равенство верно, потому что ${\displaystyle \gamma }$ геодезическая, поэтому ${\displaystyle \gamma '}$ параллельно.

Теперь вычислим скалярное произведение ${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle }$.

Мы разделяем ${\displaystyle w}$ в компонент ${\displaystyle w_{T}}$ параллельно ${\displaystyle v}$ и компонент ${\displaystyle w_{N}}$ нормально к ${\displaystyle v}$. В частности, положим ${\displaystyle w_{T}:=av}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

Предыдущий шаг напрямую подразумевает:

${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle =\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{T})\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle }$

${\displaystyle =a\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(v)\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{T}\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle .}$

Следовательно, мы должны показать, что второй член равен нулю, потому что, согласно лемме Гаусса, мы должны иметь:

${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{N}\rangle =0.}$

• ${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =0}$ :

Кривая, выбранная для доказательства леммы

Определим кривую

${\displaystyle \alpha \colon [-\epsilon ,\epsilon ]\times [0,1]\longrightarrow T_{p}M,\qquad (s,t)\longmapsto tv+tsw_{N}.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \alpha (0,1)=v,\qquad {\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(s,t)=v+sw_{N},\qquad {\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,t)=tw_{N}.}$

Положим:

${\displaystyle f\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\times [0,1]\longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp _{p}(tv+tsw_{N}),}$

и рассчитываем:

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)=T_{\alpha (0,1)}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\partial f}{\partial t}}(0,1)}$

и

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(w_{N})=T_{\alpha (0,1)}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial s}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\partial f}{\partial s}}(0,1).}$

Следовательно

${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle (0,1).}$

Теперь мы можем проверить, что это скалярное произведение действительно не зависит от переменной ${\displaystyle t}$, и поэтому, например:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle (0,1)=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle (0,0)=0,}$

потому что, согласно тому, что было сказано выше:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {\partial f}{\partial s}}(0,t)=\lim _{t\rightarrow 0}T_{tv}\exp _{p}(tw_{N})=0}$

учитывая, что дифференциал является линейным отображением. Таким образом, это доказывает лемму.

• Мы проверяем, что ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =0}$: это прямой расчет. Поскольку карты ${\displaystyle t\mapsto f(s,t)}$ геодезические,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}$

Поскольку карты ${\displaystyle t\mapsto f(s,t)}$ геодезические, функция ${\displaystyle t\mapsto \left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle }$ постоянно. Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle v+sw_{N},v+sw_{N}\right\rangle =2\left\langle v,w_{N}\right\rangle =0.}$

Смотрите также

• Риманова геометрия
• Метрический тензор

Рекомендации

• ду Карму, Манфреду (1992), Риманова геометрия, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3490-2