Неравенство Гаусса - Gausss inequality

Не путать с Неравенство гауссовой корреляции или Гауссово изопериметрическое неравенство.

В теория вероятности, Неравенство Гаусса (или Неравенство Гаусса) дает оценку сверху вероятности того, что a одномодальный случайная переменная лежит больше, чем какое-либо данное расстояние от его Режим.

Позволять Икс быть унимодальной случайной величиной с модой м, и разреши τ ² быть ожидаемое значение из (Икс − м)². (τ ² также может быть выражено как (μ − м)² + σ ², куда μ и σ являются средним и стандартное отклонение из Икс.) Тогда для любого положительного значения k,

${\displaystyle \Pr(\mid X-m\mid >k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}}$

Теорема была впервые доказана Карл Фридрих Гаусс в 1823 г.

Смотрите также

• Неравенство Высочанского – Петунина., аналогичный результат для расстояния от среднего, а не для моды
• Неравенство Чебышева, касается расстояния от среднего, не требуя одномодальности

Рекомендации

• Гаусс, К.Ф. (1823 г.). "Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Комментарии Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 5.
• Аптон, Грэм; Кук, Ян (2008). «Неравенство Гаусса». Статистический словарь. Издательство Оксфордского университета.
• Sellke, T.M .; Sellke, S.H. (1997). «Неравенства Чебышева для унимодальных распределений». Американский статистик. Американская статистическая ассоциация. 51 (1): 34–40. Дои:10.2307/2684690. JSTOR  2684690.
• Пукельсхайм, Ф. (1994). «Правило трех сигм». Американский статистик. Американская статистическая ассоциация. 48 (2): 88–91. Дои:10.2307/2684253. JSTOR  2684253.