Уравнение G - G equation

В Горение, Уравнение G скаляр ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)}$ уравнение поля, которое описывает мгновенное положение пламени, введенное Форман А. Уильямс в 1985 году^[1][2] при исследовании турбулентного горения с предварительным перемешиванием. Уравнение выводится на основе Метод установки уровня. Уравнение изучено Джордж Х. Маркштейн ранее, в ограничительной форме.^[3][4]

Математическое описание^[5][6]

Уравнение G читается как

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=U_{L}|\nabla G|}$

куда

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ поле скорости потока
• ${\displaystyle U_{L}}$ - местная скорость горения

Местоположение пламени определяется выражением ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)=G_{o}}$ который можно определить произвольно так, что ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)>G_{o}}$ это область сгоревшего газа и ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}}$ это область несгоревшего газа. Вектор нормали к пламени равен ${\displaystyle \mathbf {n} =-\nabla G/|\nabla G|}$.

Скорость местного горения

Скорость горения растянутое пламя может быть получен путем вычитания подходящих членов из скорости нерастянутого пламени для малой кривизны и малой деформации, как указано

${\displaystyle U_{L}=S_{L}-S_{L}{\mathcal {L}}\kappa -{\mathcal {L}}S}$

куда

• ${\displaystyle S_{L}}$ скорость горения нераспространенное пламя
• ${\displaystyle S=-\mathbf {n} \cdot \nabla \mathbf {v} \cdot \mathbf {n} }$ - член, соответствующий наложенному скорость деформации на пламени из-за поля потока
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ это Длина Маркштейна, пропорционально толщине ламинарного пламени ${\displaystyle \delta _{L}}$, коэффициент пропорциональности равен Число Маркштейна ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$
• ${\displaystyle \kappa =\nabla \cdot \mathbf {n} =-{\frac {\nabla ^{2}G-\mathbf {n} \cdot \nabla (\mathbf {n} \cdot \nabla G)}{|\nabla G|}}}$ - кривизна пламени, которая положительна, если фронт пламени выпуклый по отношению к несгоревшей смеси и наоборот.

Простой пример - Слот-горелка

Уравнение G имеет точное выражение для простой щелевой горелки. Рассмотрим двухмерную плоскую щелевую горелку шириной ${\displaystyle b}$ предварительно приготовленная смесь реагентов подается через щель с постоянной скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} =(0,U)}$, где координата ${\displaystyle (x,y)}$ выбирается так, что ${\displaystyle x=0}$ находится в центре слота и ${\displaystyle y=0}$ лежит в месте выхода прорези. При воспламенении смеси от устья щели до определенной высоты развивается пламя. ${\displaystyle y=L}$ плоско-конической формы с углом конуса ${\displaystyle \alpha }$. В установившемся случае уравнение G сводится к

${\displaystyle U{\frac {\partial G}{\partial y}}=U_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

Если разделение формы ${\displaystyle G(x,y)=y+f(x)}$ вводится, уравнение принимает вид

${\displaystyle U=U_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}},\quad {\text{or}}\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-U_{L}^{2}}}{U_{L}}}}$

что при интеграции дает

${\displaystyle f(x)={\frac {(U^{2}-U_{L}^{2})^{1/2}}{U_{L}}}|x|+C,\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {(U^{2}-U_{L}^{2})^{1/2}}{U_{L}}}|x|+y+C}$

Без потери общности выберите место пламени, в котором будет находиться ${\displaystyle G(x,y)=G_{o}=0}$. Поскольку пламя прикреплено к устью прорези ${\displaystyle |x|=b/2,\ y=0}$, граничное условие ${\displaystyle G(b/2,0)=0}$, который можно использовать для оценки постоянной ${\displaystyle C}$. Таким образом, скалярное поле равно

${\displaystyle G(x,y)={\frac {(U^{2}-U_{L}^{2})^{1/2}}{U_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y}$

На кончике пламени у нас есть ${\displaystyle x=0,\ y=L,\ G=0}$, высота пламени легко определяется как

${\displaystyle L={\frac {b(U^{2}-U_{L}^{2})^{1/2}}{2U_{L}}}}$

и угол пламени ${\displaystyle \alpha }$ дан кем-то

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {U_{L}}{(U^{2}-U_{L}^{2})^{2}}}}$

С использованием тригонометрическая идентичность ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /(1-\sin ^{2}\alpha )}$, у нас есть

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {U_{L}}{U}}}$

Рекомендации

1. Уильямс, Ф.А. (1985). Турбулентное горение. В «Математике горения» (стр. 97-131). Общество промышленной и прикладной математики.
2. Керштейн, Алан Р., Уильям Т. Эшерст и Форман А. Уильямс. «Полевое уравнение для распространения границы раздела в нестационарном однородном поле течения». Physical Review A 37.7 (1988): 2728.
3. Г. Х. Маркштейн. (1951). Взаимодействие пульсаций потока и распространения пламени. Журнал авиационных наук, 18 (6), 428-429.
4. Маркштейн, Г. Х. (Ред.). (2014). Нестационарное распространение пламени: AGARDograph (Vol. 75). Эльзевир.
5. Питерс, Норберт. Турбулентное горение. Издательство Кембриджского университета, 2000.
6. Уильямс, Форман А. "Теория горения". (1985).