Замороженная орбита - Frozen orbit

В орбитальная механика, а замороженная орбита является орбита для искусственного спутник в котором естественный дрейф из-за центральный орган форма была минимизирована путем тщательного выбора параметры орбиты. Обычно это орбита, на которой в течение длительного периода времени спутник высота остается постоянным в одной и той же точке на каждой орбите.^[1] Изменения в склонность, позиция из низшая точка орбиты, и эксцентриситет были минимизированы путем выбора начальные значения так что их возмущения отменяет.^[2] Это приводит к долгосрочной стабильной орбите, которая сводит к минимуму использование стационарный пропеллент.

Предпосылки и мотивация

Для большинства космических аппаратов изменение орбиты вызвано сжатие Земли, гравитационное притяжение от солнца и луны, давление солнечного излучения, и сопротивление воздуха. Их называют «возмущающими силами». Им необходимо противодействовать маневрами, чтобы космический корабль оставался на желаемой орбите. Для геостационарный космический корабль корректирующие маневры порядка 40–50 м / с в год необходимы для противодействия гравитационным силам Солнца и Луны, которые перемещают плоскость орбиты в сторону от экваториальной плоскости Земли.

За солнечно-синхронный космический аппарат, преднамеренное смещение плоскости орбиты (так называемая «прецессия») может быть использовано в интересах миссии. Для этих миссий используется почти круговая орбита высотой 600–900 км. Подходящий наклон (97,8-99,0 градусов) выбирается таким образом, чтобы прецессия плоскости орбиты была равна скорости движения Земли вокруг Солнца, примерно 1 градус в сутки.

В результате космический корабль будет проходить над точками на Земле, которые имеют одно и то же время суток на каждой орбите. Например, если орбита расположена «под прямым углом к ​​солнцу», аппарат всегда будет проходить над точками, в которых сейчас 6 часов утра на северном участке и 18 часов вечера. на южной части (или наоборот). Это называется орбитой «Рассвет-Закат». В качестве альтернативы, если солнце находится в орбитальной плоскости, транспортное средство всегда будет проходить над местами, где сейчас полдень на северном отрезке, и над местами, где сейчас полночь на южном отрезке (или наоборот). Они называются орбитами "полдень-полночь". Такие орбиты желательны для многих миссий наблюдения Земли, таких как погода, изображения и картография.

Возмущающая сила, вызванная сжатием Земли, в целом будет возмущать не только плоскость орбиты, но и вектор эксцентриситета орбиты. Однако существует почти круговая орбита, для которой нет вековых / длительных периодических возмущений вектора эксцентриситета, только периодические возмущения с периодом, равным периоду обращения. В таком случае такая орбита является идеально периодической (за исключением прецессии плоскости орбиты) и поэтому называется «замороженной орбитой». Такая орбита часто является предпочтительным выбором для миссии наблюдения Земли, когда повторные наблюдения одного и того же участка Земли должны проводиться при как можно более постоянных условиях наблюдения.

В Спутники наблюдения Земли ERS-1, ERS-2 и Envisat эксплуатируются на солнечно-синхронных замороженных орбитах.

Замороженные лунные орбиты

Благодаря изучению многих орбита Луны спутников, ученые обнаружили, что большинство низкие лунные орбиты (LLO) нестабильны.^[3] Четыре замороженные лунные орбиты были идентифицированы под углом наклона 27 °, 50 °, 76 ° и 86 °. НАСА разъясняло это в 2006 году:

Лунные маски сделать самые низкие лунные орбиты нестабильными ... Когда спутник проходит 50 или 60 миль над головой, масконы тянут его вперед, назад, влево, вправо или вниз, точное направление и величина тяги зависит от траектории спутника. При отсутствии периодических запусков бортовых ракет для корректировки орбиты большинство спутников, выведенных на низкие лунные орбиты (менее 60 миль или 100 км), в конечном итоге упадут на Луну. ... [Есть] ряд «замороженных орбит», на которых космический корабль может оставаться на низкой лунной орбите неопределенное время. Они происходят под четырьмя наклонениями: 27 °, 50 °, 76 ° и 86 ° ", причем последний из них находится почти над полюсами Луны. Орбита относительно долгоживущего субспутника Apollo 15 ПФС-1 имел наклонение 28 °, что оказалось близким к наклонению одной из замороженных орбит, но менее удачно ПФС-2 имел наклонение орбиты всего 11 °.^[4]

Классическая теория

Классическая теория замороженных орбит по существу основана на аналитическом анализ возмущений для искусственных спутников Дирк Брауэр сделано по контракту с НАСА и опубликовано в 1959 г.^[5]

Этот анализ можно провести следующим образом:

В статье анализ орбитальных возмущений вековое возмущение орбитального полюса ${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$ от ${\displaystyle J_{2}\,}$ срок геопотенциальная модель показано как

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \sin i\quad {\hat {g}}}$

(1)

которые можно выразить через элементы орбиты следующим образом:

${\displaystyle \Delta i\ =\ 0}$

(2)

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i}$

(3)

Проведя аналогичный анализ для ${\displaystyle J_{3}\,}$ срок (соответствующий тому факту, что Земля слегка грушевидной формы ), получается

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ -\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)}$

(4)

что может быть выражено через элементы орбиты как

${\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

(5)

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac {\cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

(6)

В той же статье вековое возмущение составляющих вектор эксцентриситета вызвано ${\displaystyle J_{2}\,}$ показано как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_{h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\left(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end{aligned}}}$

(7)

куда:

• Первое слагаемое - это возмущение вектора эксцентриситета в плоскости, вызванное плоскостной составляющей возмущающей силы.
• Второй член - это эффект нового положения восходящего узла в новой орбитальной плоскости, при этом орбитальная плоскость возмущена внеплоскостной составляющей силы.

Проведение анализа для ${\displaystyle J_{3}\,}$ член получается для первого члена, то есть для возмущения вектора эксцентриситета от составляющей силы в плоскости

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)}$

(8)

Для углов наклона 97,8–99,0 град. ${\displaystyle \Delta \Omega \,}$ значение, определяемое (6) намного меньше, чем значение (3) и их можно игнорировать. Аналогично квадратичные члены компонент вектора эксцентриситета в (8) можно не учитывать для почти круговых орбит, т. е. (8) можно аппроксимировать с помощью

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}}$

(9)

Добавление ${\displaystyle J_{3}\,}$ вклад ${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

к (7) получается

${\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)}$

(10)

Теперь разностное уравнение показывает, что вектор эксцентриситета будет описывать окружность с центром в точке ${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$; полярный аргумент вектора эксцентриситета увеличивается с увеличением ${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$ радианы между последовательными орбитами.

В качестве

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

получается для полярной орбиты (${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$) с ${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ что центр круга находится в ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$ а изменение полярного аргумента составляет 0,00400 радиан на орбиту.

Последняя цифра означает, что вектор эксцентриситета будет описывать полный круг на 1569 орбитах. Выбирая начальный вектор среднего эксцентриситета как ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$ вектор среднего эксцентриситета останется постоянным для следующих друг за другом орбит, т.е. орбита заморожена из-за вековых возмущений ${\displaystyle J_{2}\,}$ срок, заданный (7) и ${\displaystyle J_{3}\,}$ срок, заданный (9) отменяет.

С точки зрения классических элементов орбиты это означает, что замороженная орбита должна иметь следующие средние элементы:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

Современная теория

Современная теория замороженных орбит основана на алгоритме, приведенном в статье Матса Розенгрена в 1989 году.^[6]

Для этого аналитическое выражение (7) используется для итеративного обновления исходного (среднего) вектора эксцентриситета, чтобы получить, что (средний) вектор эксцентриситета на несколько орбит, позже вычисленных посредством точного численного распространения, принимает точно такое же значение. Таким образом, вековое возмущение вектора эксцентриситета, вызванное ${\displaystyle J_{2}\,}$ термин используется для противодействия всем вековым возмущениям, а не только тем (доминирующим), которые вызваны ${\displaystyle J_{3}\,}$ срок. Одним из таких дополнительных вековых возмущений, которые таким образом можно компенсировать, является возмущение, вызванное давление солнечного излучения, это возмущение обсуждается в статье "Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) ".

Применяя этот алгоритм к рассмотренному выше случаю, то есть полярной орбите (${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$) с ${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ игнорируя все возмущающие силы, кроме ${\displaystyle J_{2}\,}$ и ${\displaystyle J_{3}\,}$ сил для численного распространения получается точно такой же оптимальный вектор среднего эксцентриситета, как и в «классической теории», т.е. ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$.

Когда мы также включаем силы из-за более высоких зональных членов, оптимальное значение изменяется на ${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$.

Предполагая, кроме того, разумное солнечное давление («площадь поперечного сечения» 0,05 м²/кг, направление к солнцу по направлению к восходящему узлу) оптимальное значение для среднего вектора эксцентриситета принимает вид ${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$ что соответствует:${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$, т.е. оптимальное значение нет ${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$ больше.

Этот алгоритм реализован в программном обеспечении управления орбитой, используемом для Спутники наблюдения Земли ERS-1, ERS-2 и Envisat

Вывод выражений в замкнутой форме для J₃ возмущение

Основная возмущающая сила, которой нужно противодействовать, чтобы орбита замерзла, - это "${\displaystyle J_{3}\,}$ сила », т.е. гравитационная сила, вызванная несовершенной симметрией север / юг Земли, и« классическая теория »основана на выражении в закрытой форме для этого«${\displaystyle J_{3}\,}$ возмущение ». В« современной теории »это явное выражение в замкнутой форме не используется напрямую, но, безусловно, имеет смысл вывести его.

Вывести это выражение можно следующим образом:

Потенциал от зонального члена является вращательно-симметричным относительно полярной оси Земли, и соответствующая сила полностью находится в продольной плоскости с одной составляющей ${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$ в радиальном направлении и один компонент ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ с единичным вектором ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ перпендикулярно радиальному направлению на север. Эти направления ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ и ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ показаны на рисунке 1.

Рисунок 1: Единичные векторы ${\displaystyle {\hat {\phi }},\ {\hat {\lambda }},\ {\hat {r}}}$

В статье Геопотенциальная модель показано, что эти компоненты силы, обусловленные ${\displaystyle J_{3}\,}$ срок

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2}\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}}$

(11)

Чтобы иметь возможность применять отношения, полученные в статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) составляющая силы ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ должен быть разбит на две ортогональные составляющие ${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$ и ${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$ как показано на рисунке 2

Рисунок 2: Единичный вектор ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$ ортогонален ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ по направлению движения и орбитальному полюсу ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$. Составляющая силы ${\displaystyle F_{\lambda }}$ обозначается буквой "F"

Позволять ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$ образуют прямоугольную систему координат с началом в центре Земли (в центре Справочный эллипсоид ) такие, что ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$ указывает в направлении на север и такой, что ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$ находятся в экваториальной плоскости Земли с ${\displaystyle {\hat {a}}\,}$ указывая на восходящий узел, т.е. к синей точке на рисунке 2.

Компоненты единичных векторов

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

составляющие локальную систему координат (из которых ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$ проиллюстрированы на рисунке 2), и выражают их связь с ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$, являются следующими:

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

куда ${\displaystyle u\,}$ полярный аргумент ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ относительные ортогональные единичные векторы ${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$ и ${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$ в орбитальной плоскости

во-первых

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

куда ${\displaystyle \lambda \,}$ угол между плоскостью экватора и ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ (между зелеными точками на рисунке 2) и из уравнения (12) статьи Геопотенциальная модель поэтому получается

${\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)}$

(12)

Во-вторых, проекция направления на север, ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$, на плоскости, перекрытой ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$ является

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

и эта проекция

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

куда ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ это единичный вектор ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ перпендикулярно радиальному направлению на север, показанному на рисунке 1.

Из уравнения (11) Мы видим, что

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

и поэтому:

${\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u}$

(13)

${\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i}$

(14)

В статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) дополнительно показано, что вековое возмущение орбитального полюса ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$ является

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}$

(15)

Вводя выражение для ${\displaystyle F_{z}\,}$ из (14) в (15) получается

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}}$

(16)

Фракция ${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$ является

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

куда

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

компоненты вектора эксцентриситета в ${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$ система координат.

Как и все интегралы типа

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

равны нулю, если не оба ${\displaystyle n\,}$ и ${\displaystyle m\,}$ четные, мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

(17)

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

(18)

Следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}}$

(19)

куда

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$ и ${\displaystyle {\hat {h}}\,}$ являются базовыми векторы прямоугольной системы координат в плоскости опорной орбиты с Kepler ${\displaystyle {\hat {g}}\,}$ в экваториальной плоскости по направлению к восходящему узлу и ${\displaystyle u\,}$ - полярный аргумент относительно этой экваториальной системы координат

${\displaystyle f_{z}\,}$ - составляющая силы (на единицу массы) в направлении полюса орбиты ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

В статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) показано, что вековое возмущение вектора эксцентриситета равно

${\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du}$

(20)

куда

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$ - обычная локальная система координат с единичным вектором ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ направлен от Земли
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$ - составляющая скорости в направлении ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$ - составляющая скорости в направлении ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

Вводя выражение для ${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$ из (12) и (13) в (20) получается

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned}}}$

(21)

Используя это

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

приведенный выше интеграл можно разделить на 8 членов:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ \cos u\ du\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}}$

(22)

При условии

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

мы получаем

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

и что все интегралы типа

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

равны нулю, если не оба ${\displaystyle n\,}$ и ${\displaystyle m\,}$ четные:

Срок 1

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

(23)

Срок 2

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

(24)

Срок 3

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

(25)

Срок 4

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

(26)

Срок 5

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

(27)

6 семестр

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

(28)

Срок 7

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

(29)

8 семестр

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

(30)

В качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}&-10\sin ^{2}i\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+6\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&-15\sin ^{2}i\ \left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+3\left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\right)\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\right)\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\right)=\\&{\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}}$

(31)

Следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du=\\&2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ {\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}}$

(32)

Рекомендации

1. Орел, К. Дэвид. "Замороженный дизайн орбиты" (PDF). Орбитальная механика с Numerit. Архивировано из оригинал (PDF) 21 ноября 2011 г.. Получено 5 апреля 2012.
2. Чоботов, Владимир А. (2002). Орбитальная механика (3-е изд.). Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 221.
3. Замороженные орбиты вокруг Луны. 2003 г.
4. Белл, Труди Э. (6 ноября 2006 г.). Филлипс, Тони (ред.). "Причудливые лунные орбиты". Наука @ НАСА. НАСА. Получено 2017-09-08.
5. Дирк Брауэр: «Решение проблемы искусственного спутника без сопротивления», Астрономический журнал, 64 (1959)
6. Матс Розенгрен (1989). «Улучшенная методика пассивного контроля эксцентриситета (AAS 89-155)». Успехи в астронавтических науках. 69. ААС / НАСА. Bibcode:1989ommd.proc ... 49R.

дальнейшее чтение

• ИССЛЕДОВАНИЕ ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОКРЕСТНОСТИ ЗАМОРОЖЕННОЙ ОРБИТЫ. включая сопротивление атмосферы и J₅ термины