Сила смертности - Force of mortality

В актуарная наука, сила смертности представляет собой мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеряемом в годовом исчислении. По концепции он идентичен интенсивность отказов, также называется функция опасности, в теория надежности.

Мотивация и определение

В таблица жизни, мы считаем вероятность смерти человека от возраста Икс к Икс +1, называется q_Икс. В непрерывном случае мы могли бы также рассмотреть условная возможность лица, достигшего возраста (Икс) умирают в возрасте Икс и Икс + Δx, который

${displaystyle P_{x}(Delta x)=P(x<X<x+Delta ;xmid ;X>x)={frac {F_{X}(x+Delta ;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

где F_Икс(x) - это кумулятивная функция распределения непрерывного возраста смерти случайная переменная, X. Как Δx стремится к нулю, как и эта вероятность в непрерывном случае. Приблизительная сила смертности - это вероятность, деленная на Δx. Если мы позволим Δx стремятся к нулю, получаем функцию для сила смертности, обозначаемый ${displaystyle mu (x)}$:

${displaystyle mu ,(x)=lim _{Delta xightarrow 0}{frac {F_{X}(x+Delta ;x)-F_{X}(x)}{Delta x(1-F_{X}(x))}}={frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

поскольку ж_Икс(Икс)=F '_Икс(Икс) - функция плотности вероятности Икс, и S(Икс) = 1 - F_Икс(Икс) это функция выживания, сила смертности также может быть выражена по-разному:

${displaystyle mu ,(x)={frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{frac {S'(x)}{S(x)}}=-{frac {d}{dx}}ln[S(x)].}$

Чтобы концептуально понять, как сила смертности действует в популяции, примите во внимание, что возраст, Икс, где функция плотности вероятности ж_Икс(Икс) равно нулю, нет шансов умереть. Таким образом, сила смертности в этом возрасте равна нулю. Сила смертности μ(Икс) однозначно определяет функцию плотности вероятности ж_Икс(Икс).

Сила смертности ${displaystyle mu (x)}$ можно интерпретировать как условный плотность отказов в возрасте Икс, в то время как ж(Икс) это безусловный плотность отказов в возрасте Икс.^[1] Безусловная плотность неудач в возрасте Икс это произведение вероятности дожить до старости Икс, а условная плотность отказа в возрасте Икс, учитывая дожитие до возраста Икс.

Это выражается символами как

${displaystyle ,mu (x)S(x)=f_{X}(x)}$

или эквивалентно

${displaystyle mu (x)={frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.}$

Во многих случаях также желательно определить функцию вероятности выживания, когда известна сила смертности. Для этого необходимо интегрировать силу смертности за интервал Икс к х + т

${displaystyle int _{x}^{x+t}mu (y),dy=int _{x}^{x+t}-{frac {d}{dy}}ln[S(y)],dy}$.

Посредством основная теорема исчисления, это просто

${displaystyle -int _{x}^{x+t}mu (y),dy=ln[S(x+t)]-ln[S(x)].}$

Обозначим

${displaystyle S_{x}(t)={frac {S(x+t)}{S(x)}},}$

затем взяв экспоненту в основание е, вероятность выживания человека в возрасте Икс по силе смертности

${displaystyle S_{x}(t)=exp left(-int _{x}^{x+t}mu (y),dy,ight).}$

Примеры

• Самый простой пример - когда сила смертности постоянна:

${displaystyle mu (y)=lambda ,}$

тогда функция выживания

${displaystyle S_{x}(t)=e^{-int _{x}^{x+t}lambda dy}=e^{-lambda t},}$

- экспоненциальное распределение.

• Когда сила смертности

${displaystyle mu (y)={frac {y^{alpha -1}e^{-y}}{Gamma (alpha )-gamma (alpha ,y)}},}$

где γ (α, y) - нижняя неполная гамма-функция, функция плотности вероятности - функция гамма-распределения

${displaystyle f(x)={frac {x^{alpha -1}e^{-x}}{Gamma (alpha )}}.}$

• Когда сила смертности

${displaystyle mu (y)=alpha lambda ^{alpha }y^{alpha -1},}$

где α ≥ 0, имеем

${displaystyle int _{x}^{x+t}mu (y)dy=alpha lambda ^{alpha }int _{x}^{x+t}y^{alpha -1}dy=lambda ^{alpha }((x+t)^{alpha }-x^{alpha }).}$

Таким образом, функция выживания есть

${displaystyle S_{x}(t)=e^{-int _{x}^{x+t}mu (y)dy}=A(x)e^{-(lambda (x+t))^{alpha }},}$

где ${displaystyle A(x)=e^{(lambda x)^{alpha }}.}$ Это функция выживания для Распределение Вейбулла. Для α = 1 это то же самое, что и экспоненциальное распределение.

• Другой известный пример - когда модель выживания следует Закон смертности Гомперца-Мейкхема.^[2] В этом случае сила смертности равна

${displaystyle mu (y)=A+Bc^{y}quad { ext{for }}ygeqslant 0.}$

Используя последнюю формулу, имеем

${displaystyle int _{x}^{x+t}(A+Bc^{y})dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/ln[c].}$

потом

${displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}$

где ${displaystyle g=e^{-B/ln[c]}.}$

Смотрите также

• Интенсивность отказов
• Функция опасности
• Актуарная приведенная стоимость
• Актуарная наука
• Теория надежности
• Продолжительность жизни

использованная литература

1. Р. Каннингем, Т. Херцог, Р. Лондон (2008). Модели для количественной оценки риска, 3-е издание, Actex.
2. Диксон, Дэвид К.М., Кембридж (2009). Актуарная математика для случайных рисков жизни, первое издание, Издательство Кембриджского университета.