Актуарная приведенная стоимость - Actuarial present value

В актуарная приведенная стоимость (APV) это ожидаемое значение из приведенная стоимость контингента денежный поток поток (т.е. серия платежей, которые могут или не могут быть произведены). Актуарная приведенная стоимость обычно рассчитывается для выплаты пособия или серии выплат, связанных с страхование жизни и пожизненная рента. Вероятность выплаты в будущем основана на предположениях о будущей смертности человека, которая обычно оценивается с использованием таблицы смертности.

Страхование жизни

Страхование всей жизни выплачивает заранее установленное пособие либо в момент смерти застрахованного, либо вскоре после нее. Символ (Икс) используется для обозначения "жизни в возрасте Икс" куда Икс - неслучайный параметр, который предполагается больше нуля. Актуарная приведенная стоимость одной единицы полного страхования жизни, выданной (Икс) обозначается символом ${displaystyle ,A_{x}}$ или же ${displaystyle ,{overline {A}}_{x}}$ в актуарная запись. Позволять G> 0 («возраст смерти») быть случайная переменная который моделирует возраст, в котором человек, например (Икс), умрет. И разреши Т (случайная величина будущей продолжительности жизни) - время, прошедшее между возрастом иИкс и в любом возрасте (Икс) в момент выплаты пособия (даже если (Икс) скорее всего в это время мертв). С Т является функцией G и x запишем Т = Т (G, х). Наконец, пусть Z быть случайной величиной приведенной стоимости для всей выплаты по страхованию жизни, равной 1, выплачиваемой за раз Т. Потом:

${displaystyle ,Z=v^{T}=(1+i)^{-T}=e^{-delta T}}$

куда я - эффективная годовая процентная ставка, а δ - эквивалент сила интереса.

Чтобы определить актуарную приведенную стоимость выгоды, нам необходимо рассчитать ожидаемое значение ${displaystyle ,E(Z)}$ этой случайной величины Z. Предположим, что пособие в случае смерти выплачивается в конце года смерти. потом Т (G, х): = потолок (G - х) это количество "полных лет" (округленное в большую сторону), прожитых (Икс) вне возраста Икс, так что актуарная приведенная стоимость одной единицы страхования определяется как:

${displaystyle {egin{aligned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]&=sum _{t=1}^{infty }v^{t}Pr[T=t]=sum _{t=0}^{infty }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]&=sum _{t=0}^{infty }v^{t+1}Pr[t<G-xleq t+1mid G>x]&=sum _{t=0}^{infty }v^{t+1}left({frac {Pr[G>x+t]}{Pr[G>x]}}ight)left({frac {Pr[x+t<Gleq x+t+1]}{Pr[G>x+t]}}ight)&=sum _{t=0}^{infty }v^{t+1}{}_{t}p_{x}cdot q_{x+t}end{aligned}}}$

куда ${displaystyle {}_{t}p_{x}}$ вероятность того, что (Икс) доживает до возраста х + т, и ${displaystyle ,q_{x+t}}$ вероятность того, что (х + т) умирает в течение одного года.

Если пособие выплачивается в момент смерти, то Т (G, х): = G - х а актуарная приведенная стоимость одной единицы страхования жизни рассчитывается как

${displaystyle ,{overline {A}}_{x}!=E[v^{T}]=int _{0}^{infty }v^{t}f_{T}(t),dt=int _{0}^{infty }v^{t},_{t}p_{x}mu _{x+t},dt,}$

куда ${displaystyle f_{T}}$ это функция плотности вероятности из Т, ${displaystyle ,_{t}p_{x}}$ это вероятность жизненного возраста ${displaystyle x}$ дожить до возраста ${displaystyle x+t}$ и ${displaystyle mu _{x+t}}$ обозначает сила смертности вовремя ${displaystyle x+t}$ для жизни в возрасте ${displaystyle x}$.

Актуарная приведенная стоимость одной единицы п-летний страховой полис, подлежащий выплате в момент смерти, можно найти аналогичным образом, интегрировав от 0 до п.

Актуарная приведенная стоимость n-годичного чистого дохода дар страховое возмещение в размере 1, выплачиваемое через n лет, если оно живо, может быть найдено как

${displaystyle ,_{n}E_{x}=Pr[G>x+n]v^{n}=,_{n}p_{x}v^{n}}$

На практике доступная информация о случайной величине грамм (и, в свою очередь Т) могут быть взяты из таблиц дожития, в которых приведены цифры по годам. Например, трехлетнее страхование жизни на сумму 100 000 долларов США, подлежащее выплате в конце года смерти, имеет актуарную приведенную стоимость.

${displaystyle 100,000,A_{{stackrel {1}{x}}:{{overline {3}}|}}=100,000sum _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]}$

Например, предположим, что существует 90% -ная вероятность того, что человек выживет в любой данный год (т.е. Т имеет геометрическое распределение с параметром р = 0,9 и набор {1, 2, 3, ...} за его поддержку). потом

${displaystyle Pr[T(G,x)=1]=0.1,quad Pr[T(G,x)=2]=0.9(0.1)=0.09,quad Pr[T(G,x)=3]=0.9^{2}(0.1)=0.081,}$

и при процентной ставке 6% актуарная приведенная стоимость одной единицы трехлетнего страхования составляет

${displaystyle ,A_{{stackrel {1}{x}}:{{overline {3}}|}}=0.1(1.06)^{-1}+0.09(1.06)^{-2}+0.081(1.06)^{-3}=0.24244846,}$

Таким образом, актуарная приведенная стоимость страховки на 100 000 долларов составляет 24 244,85 долларов.

На практике пособие может выплачиваться в конце более короткого периода, чем год, что требует корректировки формулы.

Пожизненная рента

Актуарная приведенная стоимость пожизненная рента из 1 в год, выплачиваемых непрерывно, можно найти двумя способами:

Агрегированная методика оплаты (принимая ожидаемое значение общей приведенная стоимость ):

Это похоже на метод полиса страхования жизни. На этот раз случайная величина Y случайная величина общей приведенной стоимости годовой ренты в размере 1, выданной лицам, достигшим возраста Икс, выплачивается непрерывно, пока человек жив, и выдается:

${displaystyle Y={overline {a}}_{overline {T(x)|}}={frac {1-(1+i)^{-T}}{delta }}={frac {1-v^{T}(x)}{delta }},}$

куда Т = Т (х) случайная величина будущей жизни для возраста человека Икс. Ожидаемая стоимость Y является:

${displaystyle ,{overline {a}}_{x}=int _{0}^{infty }{overline {a}}_{overline {t|}}f_{T}(t),dt=int _{0}^{infty }{overline {a}}_{overline {t|}},_{t}p_{x}mu _{x+t},dt.}$

Текущий способ оплаты (беря общую приведенную стоимость функции времени, представляющей ожидаемую стоимость платежей):

${displaystyle ,{overline {a}}_{x}=int _{0}^{infty }v^{t}[1-F_{T}(t)],dt=int _{0}^{infty }v^{t},_{t}p_{x},dt}$

куда F(т) это кумулятивная функция распределения случайной величины Т.

Эквивалентность следует также из интегрирования по частям.

На практике пожизненные аннуитеты не выплачиваются постоянно. Если платежи производятся в конце каждого периода, актуарная приведенная стоимость рассчитывается как

${displaystyle a_{x}=sum _{k=1}^{infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]=sum _{t=1}^{infty }v^{t},_{t}p_{x}.}$

Если оставить общий платеж в год равным 1, то чем дольше период, тем меньше приведенная стоимость, это связано с двумя эффектами:

• Выплаты производятся в среднем на полпериода позже, чем в непрерывном случае.
• Отсутствует пропорциональная оплата за время в период смерти, то есть «потеря» оплаты в среднем за половину периода.

И наоборот, для контрактов с одинаковой единовременной суммой и одинаковыми внутренняя норма прибыли, чем больше период между платежами, тем больше общая сумма платежа в год.

Страхование жизни как функция пожизненной ренты

APV пожизненного страхования может быть получена из APV пожизненной ренты следующим образом:

${displaystyle ,A_{x}=1-iv{ddot {a}}_{x}}$

Это также обычно записывается как:

${displaystyle ,A_{x}=1-d{ddot {a}}_{x}}$

В непрерывном случае

${displaystyle ,{overline {A}}_{x}=1-delta {overline {a}}_{x}.}$

В случае, когда аннуитет и страхование жизни не являются всей жизнью, следует заменить гарантию гарантированием накопления на n лет (которое может быть выражено как сумма гарантии на срок n лет и чистого накопления n лет). и аннуитет с выплатой n-летнего аннуитета.

Смотрите также

• Актуарная наука
• Актуарное обозначение
• Актуарный резерв
• Актуарий
• Таблица жизни
• Приведенная стоимость

Рекомендации

• Актуарная математика (второе издание), 1997, Бауэрс, Н.Л., Гербер, Х.У., Хикман, Дж.К., Джонс, Д.А. and Nesbitt, C.J., Глава 4-5.
• Модели для количественной оценки риска (четвертое издание), 2011, Робин Дж. Каннингем, Томас Н. Херцог, Ричард Л. Лондон, Глава 7-8