Подкольцо с фиксированной точкой - Fixed-point subring

В алгебра, то подкольцо с фиксированной точкой ${\displaystyle R^{f}}$ из автоморфизм ж из звенеть р это подкольцо из фиксированные точки из ж:

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

В более общем смысле, если грамм это группа игра актеров на р, то подкольцо р:

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r,\,g\in G\}}$

называется фиксированная подкольца или, что более традиционно, кольцо инвариантов. В Теория Галуа, когда р это поле и грамм группа полевых автоморфизмов, фиксированное кольцо подполе называется фиксированное поле группы автоморфизмов; видеть Основная теорема теории Галуа.

Наряду с модуль ковариантов, то кольцо инвариантов является центральным объектом изучения в теория инвариантов. Геометрически кольца инвариантов являются координатными кольцами (аффинными или проективными) Факторы GIT и они играют фундаментальную роль в конструкциях в геометрическая теория инвариантов.

Пример: Позволять ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ быть кольцо многочленов в п переменные. В симметричная группа S_п действует на р путем перестановки переменных. Тогда кольцо инвариантов р^грамм это кольцо симметричных многочленов. Если редуктивная алгебраическая группа грамм действует на р, то основная теорема теории инвариантов описывает генераторы р^грамм.

Четырнадцатая проблема Гильберта спрашивает, конечно порождено кольцо инвариантов или нет (ответ утвердительный, если грамм является редуктивной алгебраической группой по теореме Нагаты.) Конечное порождение легко увидеть для конечной группы грамм действуя на конечно порожденная алгебра р: поскольку р является интеграл над р^грамм,^[1] то Лемма Артина – Тейта. подразумевает р^грамм - конечно порожденная алгебра. Для некоторых ответ отрицательный унипотентные группы.

Позволять грамм - конечная группа. Позволять S - симметрическая алгебра конечномерного грамм-модуль. потом грамм является группой отражений тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S}$ это бесплатный модуль (конечного классифицировать ) над S^грамм (Теорема Шевалле).^{[нужна цитата ]}

В дифференциальная геометрия, если грамм это Группа Ли и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ это Алгебра Ли, то каждый принципал грамм-бандл на многообразие M определяет оцененный гомоморфизм алгебр (называется Гомоморфизм Черна – Вейля )

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

куда ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ это кольцо полиномиальных функций на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и грамм действует на ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ к присоединенное представительство.

Смотрите также

• разнообразие персонажей

Примечания

1. Данный р в р, многочлен ${\displaystyle \prod _{g\in G}(t-g\cdot r)}$ является моническим полиномом над р^грамм и имеет р как один из его корней.

Рекомендации

• Мукаи, Сигэру; Oxbury, W. M. (8 сентября 2003 г.) [1998], Введение в инварианты и модули, Кембриджские исследования по высшей математике, 81, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-80906-1, МИСТЕР  2004218
• Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов, Конспект лекций по математике, 585, Springer