Теорема двойственности фенхеля - Fenchels duality theorem

В математике Теорема двойственности Фенхеля является результатом теории выпуклых функций имени Вернер Фенчель.

Позволять ƒ быть правильная выпуклая функция на р^п и разреши грамм быть правильной вогнутой функцией на р^п. Тогда, если выполнены условия регулярности,

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).}$

куда ƒ ^* это выпуклый сопряженный из ƒ (также называемое преобразованием Фенхеля – Лежандра) и грамм _* это вогнутый конъюгат из грамм. То есть,

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

Математическая теорема

Позволять Икс и Y быть Банаховы пространства, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ и ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ - выпуклые функции и ${\displaystyle A:X\to Y}$ быть ограниченный линейная карта. Тогда проблемы Фенчела:

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

удовлетворить слабая двойственность, т.е. ${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle f^{*},g^{*}}$ являются выпуклыми сопряженными к ж,грамм соответственно, и ${\displaystyle A^{*}}$ это сопряженный оператор. В функция возмущения за это двойная проблема дан кем-то ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$.

Предположим, что ж,грамм, и А удовлетворить либо

1. ж и грамм находятся нижний полунепрерывный и ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$ куда ${\displaystyle \operatorname {core} }$ это алгебраический интерьер и ${\displaystyle \operatorname {dom} h}$, куда час какая-то функция, это набор ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$, или же
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$ куда ${\displaystyle \operatorname {cont} }$ - точки, в которых функция непрерывный.

потом сильная двойственность выполняется, т.е. ${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$. Если ${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$ тогда супремум достигается.^[1]

Одномерная иллюстрация

На следующем рисунке проиллюстрирована задача минимизации в левой части уравнения. Один стремится к разнообразию Икс такое, что расстояние по вертикали между выпуклой и вогнутой кривыми при Икс как можно меньше. Положение вертикальной линии на рисунке является (приблизительным) оптимальным.

На следующем рисунке показана проблема максимизации в правой части приведенного выше уравнения. К каждой из двух кривых нанесены касательные таким образом, чтобы обе касательные имели одинаковый наклон. п. Проблема в том, чтобы отрегулировать п таким образом, чтобы две касательные находились как можно дальше друг от друга (точнее, чтобы точки, где они пересекали ось y, находились как можно дальше друг от друга). Представьте две касательные как металлические стержни с вертикальными пружинами между ними, которые раздвигают их и противостоят двум параболам, закрепленным на месте.

Теорема Фенхеля утверждает, что обе проблемы имеют одно и то же решение. Точки, имеющие минимальное вертикальное разделение, также являются точками касания для максимально разделенных параллельных касательных.

Смотрите также

• Превращение Лежандра
• Выпуклый конъюгат
• Теорема Моро
• Двойственность Вульфа
• Вернер Фенчель

Рекомендации

1. Борвейн, Джонатан; Чжу, Цицзи (2005). Методы вариационного анализа. Springer. стр.135 –137. ISBN  978-1-4419-2026-3.

• Bauschke, Heinz H .; Комбеты, Патрик Л. (2017). "Фенчел – Рокафеллар Двойственность". Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах. Springer. С. 247–262. Дои:10.1007/978-3-319-48311-5_15. ISBN  978-3-319-48310-8.
• Рокафеллар, Ральф Тиррелл (1996). Выпуклый анализ. Издательство Принстонского университета. п.327. ISBN  0-691-01586-4.