Постоянная Феллера – Торнье - Feller–Tornier constant

В математике Постоянная Феллера – Торнье C_FT представляет собой плотность набора всех положительных целых чисел, у которых есть четное число различных простых множителей, возведенных в степень больше единицы (без учета любых простых множителей, которые появляются только в первой степени).^[1]Он назван в честь Уильяма Феллера (1906–1970) и Эрхарда Торнье (1894–1982).^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{FT}}&={1 \over 2}+\left({1 \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{2 \over p_{n}^{2}}\right)\right)\\[4pt]&={{1} \over {2}}\left(1+\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{2} \over {p_{n}^{2}}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}\left(1+{{1} \over {\zeta (2)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}+{{3} \over {\pi ^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)=0.66131704946\ldots \end{aligned}}}$

(последовательность A065493 в OEIS )

Омега функция

В Омега функция дан кем-то

${\displaystyle \Omega (x)={\text{the number of prime factors of }}x{\text{ counted by multiplicities}}}$

В Кронштейн Айверсона является

${\displaystyle [P]={\begin{cases}1&{\text{if }}P{\text{ is true,}}\\0&{\text{if }}P{\text{ is false.}}\end{cases}}}$

С этими обозначениями мы имеем

${\displaystyle C_{\text{FT}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}[\Omega (k){\bmod {2}}=0]}{n}}={1 \over 2}}$

Простая дзета-функция

В простая дзета-функция п дается

${\displaystyle P(s)=\sum _{p{\text{ is prime}}}{\frac {1}{p^{s}}}.}$

Постоянная Феллера – Торнье удовлетворяет

${\displaystyle C_{\text{FT}}={1 \over 2}\left(1+\exp \left(-\sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}P(2n) \over n}\right)\right).}$

Смотрите также

• Дзета-функция Римана
• L-функция
• Произведение Эйлера
• Твин премьер

Рекомендации

1. «Константа Феллера – Торнье - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. 2017-03-23. Получено 2017-03-30.
2. Стивен Р. Финч. «Математические константы. (См. Постоянную Феллера – Торнье)».. Oeis.org. Получено 2017-03-30.