Ложная диффузия - False diffusion

Ложная диффузия тип ошибки наблюдается, когда схема против ветра используется для аппроксимации конвекция срок в уравнения конвекции – диффузии. Чем точнее центральная разностная схема может использоваться для конвекция срок, но для сеток с ячейкой Число Пекле больше 2, центральная разностная схема неустойчива, и часто используется более простая противоточная схема. Возникающая в результате ошибка схемы дифференцирования против ветра имеет вид диффузии в двух- или трехмерных системах координат и называется «ложной диффузией». Ошибки ложной диффузии в численных решениях задач конвекции-диффузии в двух и трех измерениях возникают из-за численных приближений конвективного члена в уравнениях сохранения. За последние 20 лет многие числовой были разработаны методы решения уравнений конвекции-диффузии, и ни одно из них не является беспроблемным, но ложная диффузия является одной из самых серьезных проблем и основной темой споров и путаницы среди численные аналитики.

Определение

Ложная диффузия определяется как ошибка, имеющая вид, похожий на диффузию, возникающая, когда схема против ветра используется в многомерных случаях для определения распределения переносимых свойств, текущих не ортогонально к одной или нескольким главным осям системы. Ошибка отсутствует, если поток ортогонален или параллелен каждой большой оси.

Пример

Рис.1: Область потока, иллюстрирующая ложную диффузию

На рисунке 1 ты = 2 и v = 2 м / с везде, поэтому поле скорости равномерно и перпендикулярно диагональ (ХХ). Граничные условия для температура на северной и западной стене - 100 C, а на восточной и южной стене - 0 C. Эта область разбита на 10 × 10 равных сеток. Возьмем два случая, (i) с коэффициент диффузии 0 и случай (ii) с коэффициентом диффузии = 0.

Случай (i)

Рис. 2: Западная стена имеет температуру 100 ° C, а южная стена - 0 ° C. Тепло распространяется по диагонали XX.

В этом случае тепло от западной и южной стены переносится конвекция поток к северной и восточной стене. Тепло также распространяется по диагонали XX от верхнего треугольника к нижнему. На рисунке 2 показано приблизительное распределение температуры.

Случай (ii)

В этом случае тепло от западной и южной стены переносится потоками на север и восток. По диагонали XX диффузии не будет, но когда схема против ветра применяется, результаты аналогичны случаю (i), где происходит фактическая диффузия. Эта ошибка известна как ложное распространение.

Фон

В ранних подходах производные в дифференциальная форма управляющих уравнение переноса были заменены конечно-разностными приближениями, обычно центральными разностными приближениями второго порядка точности. Однако для больших чисел Пекле (обычно> 2) это приближение давало неточные результаты. Это было признано независимо несколькими исследователями.^[1]^[2] что менее дорогой, но точный только в первом порядке схема против ветра может использоваться, но эта схема дает результаты с ложной диффузией для многомерных случаев. Многие новые схемы были разработаны для противодействия ложному распространению, но надежная, точная и экономичная схема дискретизации все еще недоступна.

Уменьшение ошибок

Рис 3 (a): Размер ячейки 8 × 8

Рис 3 (b): Результат схемы против ветра с размером ячейки 8X8

Рис 4 (а): Размер сетки 64 × 64

Рис. 4 (b): Результат схемы против ветра с размером ячейки 64 × 64

Более тонкая сетка

Ложная диффузия с схема против ветра уменьшается за счет увеличения плотности сетки. В результатах фиг. 3 и 4 ошибка ложной диффузии самая низкая на фиг. 4 (b) с более мелкими ячейками.

Другие схемы

Ошибку ложной диффузии также можно уменьшить, используя такие схемы, как схема степенного закона, БЫСТРАЯ схема, экспоненциальная схема, и SUCCA, и другие.^[3]^[4]

Улучшение схемы против ветра

Ложное распространение с простым схема против ветра происходит из-за того, что схема не учитывает наклон сетки / направления потока. Приближенное выражение для члена ложной диффузии в двух измерениях было дано де Валем Дэвисом и Маллинсоном (1972).^[5]

{ displaystyle { tau _ {fc} ^ { star} = { frac { rho U , Delta x , Delta y sin 2 theta} {4 ( Delta y sin ^ { 3} theta + Delta x cos ^ {3} theta)}}}}

(1)

куда U - результирующая скорость и θ - угол между вектором скорости и Икс направление. Ложная диффузия отсутствует, когда результирующий поток выровнен с любым из наборов линий сетки, и максимальна, когда направление потока составляет 45 ° к линиям сетки.

Определение точности приближения конвективного члена

С помощью Серия Тейлор за ${ displaystyle phi _ {W}}$ и ${ displaystyle phi _ {P}}$ в то время т + kt находятся

{ displaystyle phi _ {Wk} = phi _ {wk} - left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) left ({ frac { partial phi}) { partial x}} right) _ {wk} + { frac {1} {2!}} left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) ^ {2} left ({ frac { partial ^ {2} phi} { partial x ^ {2}}} right) _ {wk} + cdots.}

(2а)

{ displaystyle phi _ {Pk} = phi _ {wk} - left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) left ({ frac { partial phi}) { partial x}} right) _ {wk} + { frac {1} {2!}} left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) ^ {2} left ({ frac { partial ^ {2} phi} { partial x ^ {2}}} right) _ {wk} + cdots.}

(2b)

согласно противветренному приближению для конвекции (UAC), ${ displaystyle { phi _ {wk} = phi _ {Wk}}}$ . Пренебрегая высшим порядком в уравнении (2a), ошибка конвективного потока из-за этого приближения равна ${ displaystyle {- rho _ {w} u_ {w} delta y_ {i} left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) left ({ frac { частичный phi} { partial x}} right) _ {wk}}}$ . Имеет форму потока ${ displaystyle { phi}}$ ложной диффузией с коэффициентом диффузии^[6]

{ displaystyle tau _ {fc, UAC} ^ { star} = { rho _ {w} u_ {w} left ({ frac { Delta x_ {i}} {2}} right)} }

(3)

Нижний индекс fc напоминание о том, что это ложная диффузия, возникающая из оценки конвективного потока в момент ${ Displaystyle т + к , дельта т}$ используя UAC.

Алгоритм конвекции подветренного угла (SUCCA)

Рис 5:SUCCA кластер ячеек сетки

SUCCA учитывает местное направление потока, вводя влияние угловых ячеек с подветренной стороны в дискретизированное уравнение сохранения в общем управляющем уравнении переноса. На Рис. 5 SUCCA применяется в кластере сетки из девяти ячеек. Учитывая приток SW-угла ячейки P, SUCCA уравнения конвективного переноса сохраняемых видов ${ displaystyle { phi}}$ находятся

{ Displaystyle C_ {P} phi _ {P} = left ({ dot {m}} _ {w} - { frac {({ dot {m}} _ {s}) ^ {2} } {{ dot {m}} _ {w}}} right) phi _ {W} + left ({ dot {m}} _ {s} + { frac {({ dot {m }} _ {s}) ^ {2}} {{ dot {m}} _ {w}}} right) phi _ {SW} +0. phi _ {S} { text {for} } 0 < theta leq 45}

(4)

т.е.

{ Displaystyle C_ {P} phi _ {P} = C_ {w} phi _ {W} + C_ {s} w phi _ {SW}}

(5)

{ displaystyle C_ {P} phi _ {P} = left ({ dot {m}} _ {s} - { frac {({ dot {m}} _ {w}) ^ {2} } {{ dot {m}} _ {s}}} right) phi _ {W} + { left ({ dot {m}} _ {w} + { frac {({ dot { m}} _ {w}) ^ {2}} {{ dot {m}} _ {s}}} right) phi _ {SW}} + 0. phi _ {W} { text { for}} 45 < theta <90}

(6)

т.е.

{ Displaystyle C_ {P} phi _ {P} = C_ {s} phi _ {S} + C_ {s} w phi _ {SW}}

(7)

Эта формулировка удовлетворяет всем критериям конвергенция и стабильность.^[7]

Рис 6: Сравнение разных схем

На рис. 6 при уточнении сетки схема против ветра дает более точные результаты, но SUCCA предлагает почти точное решение и более полезно для предотвращения многомерных ошибок ложной диффузии.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Патанкар, Сухас В. (1980), Числовая передача тепла и поток жидкости, Тейлор и Фрэнсис Групп, ISBN 9780891165224
Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Спрингер, ISBN 978-3-540-67853-3
Дата, Анил В. (2005), Введение в вычислительную гидродинамику, Издательство Кембриджского университета, ISBN 9780521853262

[1] Р. Курант, Э. Исааксон и М. Рис. "О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями, Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952) 243–255". Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[2] К.Э. Торранс. «Сравнение конечно-разностных вычислений естественной конвекции J.Res N.B.S 72B (1968) 281–301». Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[3] Versteeg, H.K .; Малаласекера, В. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечных объемов (2-е изд.). Харлоу: Прентис Холл. ISBN 9780131274983.

[4] Патанкар, Сухас В. (1980). Числовой теплообмен и поток жидкости (14. полиграф. Ред.). Бристоль, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891165224.

[5] Патанкар, Сухас В. (1980). Числовой коэффициент теплопередачи и расхода жидкости Страница № 108 (14. полиграф. Ред.). Бристоль, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891165224.

[6] Г.Д. Рэйтби. «Критические оценки дифференцирования выше по потоку применительно к задачам, связанным с потоком жидкости, КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ И ТЕХНИКЕ, 9 (1976) 75–103». Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[7] К. Кэри, Т. Дж. Скэнлон и С. М. Фрейзер. «SUCCA - Альтернативная схема для уменьшения эффектов многомерной ложной диффузии, Appl. Math Modeling, 1993, Vol.17, May 263–270». Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]