Посторонние и недостающие решения - Extraneous and missing solutions

В математика, посторонний раствор (или ложное решение) - это решение, такое как решение уравнения, которое возникает в процессе решения проблемы, но не является действительным решением проблемы.^[1] А отсутствующее решение это решение, которое является действительным решением проблемы, но исчезло в процессе решения проблемы. И то и другое часто является следствием выполнения операций, которые не обратимый для некоторых или всех значений переменных, что предотвращает двунаправленность цепочки логических следствий в доказательстве.

Посторонние решения: умножение

Один из основных принципов алгебры состоит в том, что можно умножить обе части уравнения на одно и то же выражение, не меняя решений уравнения. Однако, строго говоря, это не так, поскольку умножение на определенные выражения может привести к новым решениям, которых раньше не было. Например, рассмотрим следующее уравнение:

${displaystyle x+2=0.}$

Если мы умножим обе стороны на ноль, мы получим,

${displaystyle 0=0.}$

Это верно для всех значений Икс, поэтому набор решений - это все действительные числа. Но очевидно, что не все действительные числа являются решениями исходного уравнения. Проблема в том, что умножение на ноль не обратимый: если мы умножаем на любое ненулевое значение, мы можем изменить шаг, разделив на то же значение, но деление на ноль не определено, поэтому умножение на ноль нельзя отменить.

Более тонко, предположим, что мы берем одно и то же уравнение и умножаем обе части на Икс. Мы получаем

${displaystyle x(x+2)=(0)x,}$

${displaystyle x^{2}+2x=0.}$

Это квадратное уравнение имеет два решения - 2 и 0. Но если заменить ноль на Икс в исходное уравнение, результатом будет неверное уравнение 2 = 0. Этот противоречивый результат возникает, потому что в случае, когда Икс= 0, умножая обе части на Икс умножает обе части на ноль и поэтому обязательно дает истинное уравнение, как в первом примере.

В общем, всякий раз, когда мы умножаем обе части уравнения на выражение, включающее переменные, мы вводим посторонние решения везде, где это выражение равно нулю. Но недостаточно исключить эти значения, потому что они могли быть законными решениями исходного уравнения. Например, предположим, что мы умножаем обе части нашего исходного уравнения Икс + 2 = 0 по Икс + 2. Получаем

${displaystyle (x+2)(x+2)=0(x+2),}$

${displaystyle x^{2}+4x+4=0,}$

который имеет только одно реальное решение: x = −2, и это решение исходного уравнения, поэтому его нельзя исключить, даже если Икс + 2 равно нулю для этого значения Икс.

Посторонние решения: рациональные

Посторонние решения могут естественным образом возникнуть в задачах с дробями с переменными в знаменателе. Например, рассмотрим это уравнение:

${displaystyle {frac {1}{x-2}}={frac {3}{x+2}}-{frac {6x}{(x-2)(x+2)}},.}$

Чтобы начать решение, мы умножаем каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей, содержащихся в уравнении. В этом случае наименьший общий знаменатель ${displaystyle (x-2)(x+2)}$. После выполнения этих операций дроби удаляются, и уравнение принимает следующий вид:

${displaystyle x+2=3(x-2)-6x,.}$

Решение этого дает единственное решение Икс = −2. Однако, когда мы подставляем решение обратно в исходное уравнение, мы получаем:

${displaystyle {frac {1}{-2-2}}={frac {3}{-2+2}}-{frac {6(-2)}{(-2-2)(-2+2)}},.}$

Тогда уравнение станет:

${displaystyle {frac {1}{-4}}={frac {3}{0}}+{frac {12}{0}},.}$

Это уравнение неверно, так как нельзя делить на ноль. Следовательно, решение Икс = –2 является посторонним и недействительным, и исходное уравнение не имеет решения.

В этом конкретном примере можно понять, что (для значения x = -2) операция умножения на ${displaystyle (x-2)(x+2)}$ будет умножением на 0. Однако не всегда просто оценить, разрешена ли каждая уже выполненная операция по окончательному ответу. Из-за этого часто единственный простой эффективный способ справиться с умножением с помощью выражений, включающих переменные, - это подставить каждое из полученных решений в исходное уравнение и подтвердить, что это дает правильное уравнение. После отбрасывания решений, которые приводят к неверному уравнению, у нас будет правильный набор решений. В некоторых случаях, как в приведенном выше примере, все решения могут быть отброшены, и в этом случае исходное уравнение не имеет решения.

Недостающие решения: деление

С посторонними решениями бороться не так уж сложно, потому что они просто требуют проверки всех решений на валидность. Однако более коварными являются отсутствующие решения, которые могут возникнуть при выполнении операций с выражениями, недопустимыми для определенных значений этих выражений.

Например, если мы решали следующее уравнение, правильное решение получается путем вычитания 4 из обеих частей, а затем деления обеих сторон на 2:

${displaystyle 2x+4=0,}$

${displaystyle 2x=-4,}$

${displaystyle x=-2.}$

По аналогии, мы могли бы предположить, что можем решить следующее уравнение, вычитая 2Икс с обеих сторон, затем разделив на Икс:

${displaystyle x^{2}+2x=0,}$

${displaystyle x^{2}=-2x,}$

${displaystyle x=-2.}$

Решение Икс = −2 фактически является действительным решением исходного уравнения; но другое решение, Икс = 0, исчез. Проблема в том, что мы разделили обе стороны на Икс, который включает неопределенный операция деления на ноль, когда Икс = 0.

Как правило, можно (и рекомендуется) избегать деления на любое выражение, которое может быть нулевым; однако там, где это необходимо, достаточно убедиться, что любые значения переменных, которые делают его нулевым, также не удовлетворяют исходному уравнению. Например, предположим, что у нас есть это уравнение:

${displaystyle x+2=0.}$

Допустимо разделить обе стороны на Икс−2, получая следующее уравнение:

${displaystyle {frac {x+2}{x-2}}=0.}$

Это верно, потому что единственное значение Икс что делает Икс−2 равно нулю Икс= 2 и Икс= 2 не является решением исходного уравнения.

В некоторых случаях нас не интересуют определенные решения; например, нам могут понадобиться решения только там, где Икс положительный. В этом случае можно делить на выражение, которое равно нулю, когда Икс равно нулю или отрицательно, потому что это может удалить только те решения, которые нам не нужны.

Прочие операции

Умножение и деление - не единственные операции, которые могут изменить набор решений. Например, возьмем задачу:

${displaystyle x^{2}=4.}$

Если мы возьмем положительный квадратный корень из обеих частей, мы получим:

${displaystyle x=2.}$

Мы не извлекаем квадратный корень из любых отрицательных значений, поскольку оба Икс² и 4 обязательно положительны. Но мы потеряли решение Икс = −2. Причина в том, что Икс на самом деле не в общем положительный квадратный корень из Икс². Если Икс отрицательно, положительный квадратный корень из Икс² является -Икс. Если шаг сделан правильно, он приводит к уравнению:

${displaystyle {sqrt {x^{2}}}={sqrt {4}}.}$

${displaystyle |x|=2.}$

${displaystyle x=pm 2.}$

Это уравнение имеет те же два решения, что и исходное: Икс = 2 и Икс = −2.

Смотрите также

• Недействительное доказательство

использованная литература

1. Рон Ларсон (1 января 2011 г.). Исчисление I с Precalculus. Cengage Learning. С. 4–. ISBN  0-8400-6833-6.