Экспоненциальный факториал - Exponential factorial

В экспоненциальный факториал положительного целого числа п, обозначаемый п$, это п возведен к власти из п - 1, которое, в свою очередь, возведено в степень п - 2 и так далее и так далее. Это,

{ Displaystyle п $ = п ^ {(п-1) ^ {(п-2) cdots}}}

Экспоненциальный факториал также можно определить с помощью отношение повторения

{ displaystyle a_ {0} = 1, quad a_ {n} = n ^ {a_ {n-1}}}

Первые несколько экспоненциальных факториалов: 1, 1, 2, 9, 262144 и т. д. (последовательность A049384 в OEIS ). Например, 262144 является экспоненциальным факториалом, поскольку

{ displaystyle 262144 = 4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}}

Используя рекуррентное соотношение, первые экспоненциальные факториалы:

0$ = 1

1$ = 1¹ = 1

2$ = 2¹ = 2

3$ = 3² = 9

4$ = 4⁹ = 262144

5$ = 5²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878 ... 8212890625 (183231 цифра)

Экспоненциальные факториалы растут намного быстрее, чем обычные. факториалы или даже гиперфакториалы. Количество цифр в 6 $ примерно 5×10¹⁸³²³⁰.

Сумма обратных величин экспоненциальных факториалов, начиная с 1, равна трансцендентное число:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n $}} = { frac {1} {1}} + { frac {1} {2 ^ { 1}}} + { frac {1} {3 ^ {2 ^ {1}}}} + { frac {1} {4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}}} + { frac {1} {5 ^ {4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}}}} + { frac {1} {6 ^ {5 ^ {4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}} }}}} + ldots = 1.611114925808376736 underbrace {11111111 ldots 11111111} _ {183213} 272243682859 ldots}

Эта сумма трансцендентна, потому что она Число Лиувилля.

подобно тетрация, в настоящее время не существует общепринятого метода расширения экспоненциальной факториальной функции на настоящий и сложный значения его аргумента, в отличие от факториал функция, для которой такое расширение предусмотрено гамма-функция. Но его можно расширить, если он определен в полосе шириной 1.

Экспоненциальный факториал - Exponential factorial

Связанные функции, обозначения и соглашения

Рекомендации