Эйлеров позет - Eulerian poset

В комбинаторный математика, Эйлеров позет это градуированный посет в котором каждый нетривиальный интервал имеет такое же количество элементов четного ранга, что и нечетного ранга. Эйлеров чусс, который является решетка является Решетка Эйлера. Эти объекты названы в честь Леонард Эйлер. Решетки Эйлера обобщают решетки для лица из выпуклые многогранники и многие недавние исследования были посвящены расширению известных результатов многогранная комбинаторика, например, различные ограничения на ж-векторы выпуклых симплициальные многогранники, к этой более общей настройке.

Примеры

• В лицевая решетка из выпуклый многогранник, состоящая из его граней вместе с наименьшим элементом, пустой гранью и наибольшим элементом, самим многогранником, является эйлеровой решеткой. Условие четности и нечетности следует из Формула Эйлера.
• Любой симплициальная сфера обобщенных гомологий является эйлеровой решеткой.
• Позволять L быть постоянным клеточный комплекс такой, что |L| это многообразие с той же эйлеровой характеристикой, что и сфера той же размерности (это условие не выполняется, если размерность нечетная). Тогда посеть ячеек L, упорядоченная по включению их замыканий, эйлерова.
• Позволять W быть Группа Кокстера с Заказ Брюа. Потом (W, ≤) - эйлеров чу.

Характеристики

• Определяющее условие эйлерова чугуна п может быть эквивалентно сформулировано в терминах его Функция Мёбиуса:

${\displaystyle \mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}{\text{ for all }}x\leq y.}$

• Двойственный эйлерову ч.у., полученный обращением частичного порядка, является эйлеровым.
• Ричард Стэнли определил торический час-вектор из ранжированный посет, который обобщает час-вектор симплициального многогранника.^[1] Он доказал, что Уравнения Дена – Соммервилля

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}\,}$

для произвольного эйлерова ч.у. ранга d + 1.^[2] Однако для чугуна Эйлера, возникающего из регулярного клеточного комплекса или выпуклого многогранника, торический час-вектор не определяет и не определяется количеством ячеек или граней разной размерности и торической час-вектор не имеет прямой комбинаторной интерпретации.

Примечания

1. Перечислительная комбинаторика, 3.14, с. 138; ранее назывался обобщенный час-вектор.
2. Перечислительная комбинаторика, Теорема 3.14.9

Рекомендации

• Ричард П. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1. Издательство Кембриджского университета, 1997 г. ISBN  0-521-55309-1

Смотрите также

• Абстрактный многогранник
• Звездный продукт, метод комбинирования множеств с сохранением эйлеровости