Диск Эйлера - Eulers Disk

Компьютерный рендеринг диска Эйлера на слегка вогнутом основании

Диск Эйлера, изобретенный между 1987 и 1990 годами Джозефом Бендиком,^[1] торговая марка научного развивающая игрушка.^[2] Он используется для иллюстрации и изучения динамическая система вращающегося и катящегося диска по плоской или изогнутой поверхности, и это было предметом ряда научных работ.^[3]

Открытие

Джозеф Бендик впервые заметил интересное движение вращающегося диска во время работы в Hughes Aircraft (Карлсбадский исследовательский центр) после того, как однажды во время обеда повернул тяжелый шлифовальный патрон на своем столе. Эффект вращения был настолько впечатляющим, что он немедленно позвонил своему другу и коллеге Ричарду Генри Уайлсу, чтобы посмотреть. Он также позвонил своему другу Ларри Шоу (Astrojax изобретатель) по телефону и заставил его послушать звук вращающегося диска. В течение следующих нескольких лет Джо, Рич и Ларри работали над оптимизацией движения диска и разработали коммерческую версию игрушки.^{[нужна цитата ]}

Аппарат известен как впечатляющая визуализация обмена энергией в трех различных тесно связанных процессах. Поскольку диск постепенно уменьшает свое азимутальное вращение, также происходит уменьшение амплитуды и увеличение частоты осевой прецессии диска.

Эволюцию осевой прецессии диска легко визуализировать в замедленном видео, если посмотреть на сторону диска, следующую за единственной точкой, отмеченной на диске. Эволюцию вращения диска легко визуализировать в замедленном движении, глядя на верхнюю часть диска по стрелке, нарисованной на диске, представляющей его радиус.

Когда диск высвобождает начальную энергию, заданную пользователем, и приближается к остановке, диск, кажется, бросает вызов гравитации посредством этих динамических обменов энергией. Бендик назвал игрушку в честь Леонард Эйлер, изучавшие подобную физику в 18 веке.^{[нужна цитата ]}

Компоненты и работа

Имеющаяся в продаже игрушка состоит из тяжелого толстого хромированного стального диска и жесткого, слегка вогнутый, зеркальная база. Включено голографический К диску можно прикрепить магнитные наклейки, чтобы усилить визуальный эффект раскачивания. Эти вложения являются строго декоративными и могут снизить способность видеть и понимать, какие процессы действительно работают.

Диск, когда вращается на плоской поверхности, демонстрирует вращательное / перекатывающееся движение, медленно прогрессируя через различные скорости и типы движения, прежде чем остановиться. В частности, прецессия скорость диска ось симметрии ускоряется при замедлении вращения диска. Жесткое зеркало используется, чтобы обеспечить подходящую поверхность с низким трением, с небольшой вогнутостью, которая удерживает вращающийся диск от «блуждающего» от опорной поверхности.

Обычный монета вращающийся на столе, как и любой диск, вращающийся на относительно плоской поверхности, демонстрирует, по сути, тот же тип движения, но не вращается так долго, как диск Эйлера. Имеющиеся в продаже диски Эйлера обеспечивают более эффективную демонстрацию этого явления, чем более часто встречающиеся предметы, поскольку имеют оптимизированный соотношение сторон и прецизионно отполированный, слегка закругленный край для максимального увеличения времени вращения / прокатки.

Физика

Вращающийся / катящийся диск в конечном итоге довольно резко останавливается, и заключительная стадия движения сопровождается жужжащим звуком с быстро увеличивающейся частотой. Когда диск катится, точка контакта качения описывает круг, который колеблется с постоянной угловой скоростью. ${\displaystyle \omega }$. Если движение недиссипативное (без трения), ${\displaystyle \omega }$ постоянно, и движение сохраняется вечно; это противоречит наблюдению, поскольку ${\displaystyle \omega }$ не является постоянным в реальных жизненных ситуациях. Фактически скорость прецессии оси симметрии приближается к сингулярность за конечное время по образцу сила закона с показателем порядка -1/3 (в зависимости от конкретных условий).

Есть два заметных эффекта рассеяния: трение качения когда монета скользит по поверхности, и сопротивление воздуха от сопротивления воздуха. Эксперименты показывают, что трение качения в основном отвечает за рассеивание и поведение^[4]- эксперименты в вакуум показывают, что отсутствие воздуха влияет на поведение лишь незначительно, в то время как поведение (скорость прецессии) систематически зависит от коэффициент трения. В пределе малого угла (т.е. непосредственно перед тем, как диск перестанет вращаться), сопротивление воздуха (а именно, вязкая диссипация ) является доминирующим фактором, но до этой конечной стадии трение качения является доминирующим эффектом.

Устойчивое движение с покоящимся центром диска

Поведение вращающегося диска с неподвижным центром можно описать следующим образом.^[5] Назовем линию от центра диска до точки контакта с плоскостью осью ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$. Поскольку центр диска и точка контакта мгновенно находятся в состоянии покоя (при условии отсутствия проскальзывания), ось ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$ мгновенная ось вращения. Угловой момент равен ${\displaystyle \mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}}$ которое справедливо для любого тонкого симметричного диска с массой ${\displaystyle M}$; ${\displaystyle k=1/2}$ для диска с массой, сосредоточенной на ободе, ${\displaystyle k=1/4}$ для однородного диска (например, круга Эйлера), ${\displaystyle a}$ - радиус диска, а ${\displaystyle \omega }$ - угловая скорость по ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$.

Контактная сила ${\displaystyle \mathbf {F} }$ является ${\displaystyle Mg{\widehat {\mathbf {z} }}}$ куда ${\displaystyle g}$ - ускорение свободного падения и ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$ вертикальная ось направлена ​​вверх. Крутящий момент относительно центра масс равен ${\displaystyle \mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}$ который мы можем переписать как ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\vec {\Omega }}\times \mathbf {L} }$ куда ${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}}$. Можно сделать вывод, что как угловой момент ${\displaystyle \mathbf {L} }$, и диск прецессируют вокруг вертикальной оси ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$ по ставке

${\displaystyle \Omega ={\frac {g}{ak\omega }}}$

(1)

В то же время ${\displaystyle \Omega }$ - угловая скорость точки контакта с плоскостью. Определим ось ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {1} }}}$ лежать вдоль оси симметрии диска и направлять вниз. Тогда считается, что ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}}$, куда ${\displaystyle \alpha }$ - угол наклона диска относительно горизонтальной плоскости. Угловую скорость можно представить как состоящую из двух частей. ${\displaystyle \omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}}$, куда ${\displaystyle \omega _{\text{rel}}}$ - угловая скорость диска вдоль оси симметрии. Из геометрии легко сделать вывод, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}}$

Подключение ${\displaystyle \omega =-\Omega \sin \alpha }$ в уравнение (1) мы наконец получаем

${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {g}{ak\sin \alpha }}}$

(2)

В качестве ${\displaystyle \alpha }$ адиабатически приближается к нулю, угловая скорость точки контакта ${\displaystyle \Omega }$ становится очень большим, и вы слышите высокочастотный звук, связанный с вращающимся диском. Однако вращение фигуры на лицевой стороне монеты, угловая скорость которой составляет ${\displaystyle \Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),}$ приближается к нулю. Полная угловая скорость ${\displaystyle \omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}}$ также обращается в нуль, как и полная энергия

${\displaystyle E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2}{\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha }$

в качестве ${\displaystyle \alpha }$ приближается к нулю. Здесь мы использовали уравнение (2).

В качестве ${\displaystyle \alpha }$ приближается к нулю, диск окончательно теряет контакт со столом, и диск быстро оседает на горизонтальной поверхности. Слышен звук с частотой ${\displaystyle {\frac {\Omega }{2\pi }}}$, который становится значительно выше, пока звук резко не прекращается.

История исследования

Моффатт

В начале 2000-х исследование было вызвано статьей в журнале от 20 апреля 2000 г. Природа,^[6] куда Кейт Моффатт показало, что вязкая диссипация в тонком слое воздуха между диском и столом было бы достаточно, чтобы учесть наблюдаемую резкость процесса оседания. Он также показал, что движение завершилось сингулярность за конечное время. Его первая теоретическая гипотеза была опровергнута последующими исследованиями, которые показали, что трение качения на самом деле является доминирующим фактором.

Моффат показал, что со временем ${\displaystyle t}$ приближается к определенному времени ${\displaystyle t_{0}}$ (что математически постоянная интеграции ) вязкая диссипация приближается к бесконечность. В необычность что из этого следует, не реализуется на практике, потому что величина вертикального ускорения не может превышать ускорение из-за сила тяжести (Диск теряет контакт с опорной поверхностью). Моффатт продолжает доказывать, что теория ломается ${\displaystyle \tau }$ до окончательного времени отстаивания ${\displaystyle t_{0}}$, предоставленный:

${\displaystyle \tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{\frac {1}{5}}}$

куда ${\displaystyle a}$ - радиус диска, ${\displaystyle g}$ ускорение свободного падения Земли, ${\displaystyle \mu }$ то динамическая вязкость из воздуха, и ${\displaystyle M}$ масса диска. Для коммерчески доступной игрушки Диск Эйлера (см. Ссылку в разделе «Внешние ссылки» ниже), ${\displaystyle \tau }$ около ${\displaystyle 10^{-2}}$ секунды, когда угол между монетой и поверхностью, ${\displaystyle \alpha }$, составляет примерно 0,005 радиана, а угловая скорость качения ${\displaystyle \Omega }$, составляет около 500 Гц.

Используя приведенные выше обозначения, общее время вращения / прокатки составляет:

${\displaystyle t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}}$

куда ${\displaystyle \alpha _{0}}$ - начальный наклон диска, измеренный в радианы. Моффатт также показал, что если ${\displaystyle t_{0}-t>\tau }$, конечная временная особенность в ${\displaystyle \Omega }$ дан кем-то

${\displaystyle \Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}}$

Результаты экспериментов

Теоретическая работа Моффатта вдохновила нескольких других исследователей на экспериментальное исследование диссипативного механизма вращающегося / катящегося диска, с результатами, которые частично противоречили его объяснению. В этих экспериментах использовались вращающиеся объекты и поверхности различной геометрии (диски и кольца) с различными коэффициентами трения как в воздухе, так и в вакууме, а также использовались такие инструменты, как высокоскоростная фотография для количественной оценки явления.

В номере журнала от 30 ноября 2000 г. Природа, физики Ван ден Энг, Нельсон и Роуч обсуждают эксперименты, в которых диски вращались в вакууме.^[7] Ван ден Энг использовал Rijksdaalder, а нидерландский язык монета, чья магнитный свойства позволяли вращать его с точно определенной скоростью. Они обнаружили, что скольжение между диском и поверхностью может быть объяснением наблюдений, а наличие или отсутствие воздуха лишь незначительно влияет на поведение диска. Они отметили, что теоретический анализ Моффатта предсказывает очень долгое время вращения диска в вакууме, чего не наблюдалось.

Моффат ответил обобщенной теорией, которая должна позволить экспериментально определить, какой механизм диссипации является доминирующим, и указал, что доминирующим механизмом диссипации всегда будет вязкая диссипация в пределе малых величин. ${\displaystyle \alpha }$ (т.е. непосредственно перед тем, как диск осядет).^[8]

Позже работа в Университет Гвельфа Петри, Хант и Грей^[9] показали, что проведение экспериментов в вакууме (давление 0,1 паскаль ) не оказали существенного влияния на скорость диссипации энергии. Петри и другие. также показали, что на скорость в значительной степени не повлияла замена диска на звенеть формы, и что условие прилипания выполнялось для углов более 10 °. Еще одна работа Капса, Дорболо, Понте, Круазье и Вандевалля^[10] пришел к выводу, что воздух является незначительным источником рассеивания энергии. Основной процесс диссипации энергии является прокаткой и проскальзывания диска на опорную поверхности. Экспериментально показано, что угол наклона, скорость прецессии и угловая скорость подчиняются степенному закону.

Несколько раз во время 2007–2008 Забастовка Гильдии писателей Америки, ведущий шоу Конан О'Брайен раскрутит его обручальное кольцо на своем столе, пытаясь вращать кольцо как можно дольше. Стремление к увеличению продолжительности вращения привело к тому, что он пригласил Массачусетский технологический институт профессор Питер Фишер на шоу, чтобы поэкспериментировать с проблемой. Вращение кольца в вакууме не имело заметного эффекта, в то время как Тефлон спиннинг опорная поверхность дали время записи 51 секунд, подтверждающей утверждение, что трение качения является основным механизмом диссипации кинетической энергии.^{[нужна цитата ]}Различные виды трения качения как первичный механизм рассеивания энергии были изучены Лейном. ^[11] который экспериментально подтвердил, что сопротивление трению движению точки контакта по ободу диска, скорее всего, является основным механизмом рассеяния на временной шкале в несколько секунд.

В популярной культуре

Диски Эйлера появляются в фильме 2006 года Снежный торт и в телешоу Теория большого взрыва, сезон 10, серия 16, который вышел в эфир 16 февраля 2017 года.

Игрушка была представлена Майкл Стивенс в эпизоде Игрушки Майкла на его образовательном YouTube канал D! NG,^[12] который является побочным продуктом Vsauce, его оригинальный канал. В ~ 25-минутной серии Стивенс пытается вдаваться в детали и объяснить, как это работает.

Звуковая команда для фильма 2001 года Перл Харбор использовал вращающийся Диск Эйлера как звуковой эффект для торпед. Во время вручения премии Оскар был проигран короткий клип звуковой команды, играющей с Диском Эйлера.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Список тем имени Леонарда Эйлера
• Типпе сверху - еще одна вращающаяся физическая игрушка, демонстрирующая удивительное поведение

Рекомендации

1. Фред Гутер (1 декабря 1996 г.). "Игрушки науки". Обнаружить. Получено 2018-11-23. Играя с диском, Бендик подумал: «Может, получится хорошая игрушка».
2. «Товарные знаки> Электронная поисковая система по товарным знакам (TESS)> Диск Эйлера». Ведомство США по патентам и товарным знакам. 21 сентября 2010 г.. Получено 2018-11-23. Индикатор Live / Dead: ЖИВОЙ
3. «Публикации». eulersdisk.com.
4. Ишвар, К .; Rouyer, F .; Менон, Н. (2002). «Ускорение до остановки: конечная временная особенность вращающегося диска». Физический обзор E. 66 (4): 045102. Bibcode:2002PhRvE..66d5102E. Дои:10.1103 / PhysRevE.66.045102. PMID  12443243.
5. Макдональд, Александр Дж .; Макдональд, Кирк Т. (2000). «Катящееся движение диска по горизонтальной плоскости». arXiv:физика / 0008227.
6. Моффатт, Х. К. (20 апреля 2000 г.). «Диск Эйлера и его конечная временная особенность». Природа. 404 (6780): 833–834. Bibcode:2000Натура 404..833М. Дои:10.1038/35009017. PMID  10786779. S2CID  197644581.
7. Ван ден Энг, Гер; Нельсон, Питер; Роуч, Джаред (30 ноября 2000 г.). «Аналитическая динамика: нумизматические колебания». Природа. 408 (6812): 540. Bibcode:2000Натура 408..540В. Дои:10.1038/35046209. PMID  11117733. S2CID  4407382.
8. Моффатт, Х. К. (30 ноября 2000 г.). «Ответ: нумизматические колебания». Природа. 408 (6812): 540. Bibcode:2000Натура408..540М. Дои:10.1038/35046211. S2CID  205011563.
9. Petrie, D .; Hunt, J. L .; Грей, К. Г. (2002). «Диск Эйлера скользит при движении?». Американский журнал физики. 70 (10): 1025–1028. Bibcode:2002AmJPh..70.1025P. Дои:10.1119/1.1501117. S2CID  28497371.
10. Колпачки, H .; Dorbolo, S .; Ponte, S .; Croisier, H; Вандевалле, Н. (май 2004 г.). «Катящееся и скользящее движение диска Эйлера» (PDF). Phys. Ред. E. 69 (5): 056610. arXiv:cond-mat / 0401278. Bibcode:2004PhRvE..69e6610C. Дои:10.1103 / PhysRevE.69.056610. PMID  15244966.
11. Лейне, Р.И. (2009). «Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на заключительной стадии его движения» (PDF). Архив прикладной механики. 79 (11): 1063–1082. Bibcode:2009AAM .... 79.1063L. Дои:10.1007 / s00419-008-0278-6. HDL:20.500.11850/12334. S2CID  48358816.
12. D! NG (14.06.2019), Диск Эйлера, получено 2019-06-15

внешняя ссылка

• Eulersdisk.com
• Физика вращающейся монеты (20 апреля 2000 г.) PhysicsWeb
• Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на заключительной стадии его движения (12 декабря 2008 г.) Arch Appl Mech
• Комментарий к диску Моффата (31 марта 2002 г.)
• «Диск Эйлера». Проблемы физики реального мира. real-world-physics-problems.com. Получено 2014-07-11. Подробный математико-физический анализ движения диска
• Видео на YouTube о диске Эйлера в действии