Ансамблевый фильтр Калмана - Ensemble Kalman filter

В ансамбль фильтр Калмана (EnKF) это рекурсивный фильтр подходит для задач с большим количеством переменных, таких как дискретизации из уравнения в частных производных в геофизических моделях. EnKF возник как версия Фильтр Калмана для больших задач (по сути, ковариационная матрица заменяется выборочная ковариация ), и теперь это важный ассимиляция данных компонент ансамблевое прогнозирование. EnKF относится к фильтр твердых частиц (в этом контексте частица - это то же самое, что и член ансамбля), но EnKF делает предположение, что все задействованные распределения вероятностей Гауссовский; когда это применимо, это намного эффективнее, чем фильтр твердых частиц.

Вступление

Ансамблевый фильтр Калмана (EnKF) представляет собой Монте-Карло реализация Байесовское обновление проблема: учитывая функция плотности вероятности (pdf) состояния моделируемой системы ( прежний, часто называемый прогнозом в науках о Земле) и вероятность данных, Теорема Байеса используется для получения PDF после учета правдоподобия данных ( задний, часто называемый анализом). Это называется байесовским обновлением. Байесовское обновление сочетается с продвижением модели во времени, время от времени добавляя новые данные. Оригинал Фильтр Калмана, введен в 1960 г.,^[1] предполагает, что все PDF-файлы Гауссовский (предположение Гаусса) и дает алгебраические формулы для замены иметь в виду и ковариационная матрица байесовским обновлением, а также формулой для продвижения ковариационной матрицы во времени при условии, что система является линейной. Однако поддержание ковариационной матрицы невозможно с вычислительной точки зрения для многомерных систем. По этой причине были разработаны EnKF.^[2][3] EnKF представляют собой распределение состояния системы с помощью набора векторов состояния, называемого ансамбль, и заменим ковариационную матрицу на выборочная ковариация вычисляется из ансамбля. Ансамбль работает так, как будто это случайный пример, но участники ансамбля действительно не независимый - EnKF связывает их вместе. Одним из преимуществ EnKF является то, что продвижение PDF-файла во времени достигается простым продвижением каждого члена ансамбля.^[4]

Вывод

Фильтр Калмана

Давайте сначала рассмотрим Фильтр Калмана. Позволять ${\displaystyle \mathbf {x} }$ обозначить ${\displaystyle n}$-размерный вектор состояния модели и предположим, что она Гауссово распределение вероятностей со средним ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ и ковариация ${\displaystyle Q}$, т.е. его pdf

${\displaystyle p(\mathbf {x} )\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {T} }Q^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )\right).}$

Здесь и далее ${\displaystyle \propto }$ означает пропорциональный; PDF-файл всегда масштабируется так, что его интеграл по всему пространству равен единице. Этот ${\displaystyle p(\mathbf {x} )}$, называется прежний, был разработан со временем путем запуска модели и теперь должен быть обновлен с учетом новых данных. Естественно предположить, что распределение ошибок данных известно; данные должны иметь оценку ошибки, иначе они не имеют смысла. Здесь данные ${\displaystyle \mathbf {d} }$ предполагается, что имеет гауссовский PDF с ковариацией ${\displaystyle R}$ и значит ${\displaystyle H\mathbf {x} }$, куда ${\displaystyle H}$ так называемый матрица наблюдения. Ковариационная матрица ${\displaystyle R}$ описывает оценку погрешности данных; если случайные ошибки в записях вектора данных ${\displaystyle \mathbf {d} }$ независимы, ${\displaystyle R}$ диагонально, а его диагональные элементы - это квадраты стандартное отклонение («Размер ошибки») ошибки соответствующих записей вектора данных ${\displaystyle \mathbf {d} }$. Значение ${\displaystyle H\mathbf {x} }$ какова будет ценность данных для состояния ${\displaystyle \mathbf {x} }$ при отсутствии ошибок данных. Тогда плотность вероятности ${\displaystyle p(\mathbf {d} |\mathbf {x} )}$ данных ${\displaystyle \mathbf {d} }$ условное состояние системы ${\displaystyle \mathbf {x} }$, называется вероятность данных, является

${\displaystyle p\left(\mathbf {d} |\mathbf {x} \right)\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {d} -H\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }R^{-1}(\mathbf {d} -H\mathbf {x} )\right).}$

PDF-файл государства и вероятность данных объединяются, чтобы дать новую плотность вероятности состояния системы ${\displaystyle \mathbf {x} }$ зависит от ценности данных ${\displaystyle \mathbf {d} }$ (в задний ) посредством Теорема Байеса,

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} |\mathbf {d} \right)\propto p\left(\mathbf {d} |\mathbf {x} \right)p(\mathbf {x} ).}$

Данные ${\displaystyle \mathbf {d} }$ фиксируется после получения, поэтому обозначим апостериорное состояние как ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ вместо ${\displaystyle \mathbf {x} |\mathbf {d} }$ и апостериорный PDF ${\displaystyle p\left(\mathbf {\hat {x}} \right)}$. Это может быть показано алгебраическими манипуляциями^[5] что апостериорный PDF также является гауссовым,

${\displaystyle p\left(\mathbf {\hat {x}} \right)\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {\hat {x}} -\mathbf {\hat {\mu }} )^{\mathrm {T} }{\hat {Q}}^{-1}(\mathbf {\hat {x}} -\mathbf {\hat {\mu }} )\right),}$

с апостериорным средним ${\displaystyle \mathbf {\hat {\mu }} }$ и ковариация ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ заданные формулами обновления Калмана

${\displaystyle \mathbf {\hat {\mu }} =\mathbf {\mu } +K\left(\mathbf {d} -H\mathbf {\mu } \right),\quad {\hat {Q}}=\left(I-KH\right)Q,}$

куда

${\displaystyle K=QH^{\mathrm {T} }\left(HQH^{\mathrm {T} }+R\right)^{-1}}$

так называемый Кальман усиление матрица.

Ансамблевый фильтр Калмана

EnKF - это приближение Монте-Карло фильтра Калмана, которое позволяет избежать развития ковариационной матрицы PDF вектора состояния. ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Вместо этого PDF-файл представлен ансамблем

${\displaystyle X=\left[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{N}\right]=\left[\mathbf {x} _{i}\right].}$

${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle n\times N}$ матрица, столбцы которой являются членами ансамбля, и называется предыдущий ансамбль. В идеале участники ансамбля должны образовывать образец из предыдущего распределения. Однако участники ансамбля в целом не независимый за исключением начального ансамбля, поскольку каждый шаг EnKF связывает их вместе. Они считаются приблизительно независимыми, и все расчеты производятся так, как если бы они действительно были независимыми.

Реплицируйте данные ${\displaystyle \mathbf {d} }$ в ${\displaystyle m\times N}$ матрица

${\displaystyle D=\left[\mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{N}\right]=\left[\mathbf {d} _{i}\right],\quad \mathbf {d} _{i}=\mathbf {d} +\mathbf {\epsilon _{i}} ,\quad \mathbf {\epsilon _{i}} ~N(0,R),}$

так что каждый столбец ${\displaystyle \mathbf {d} _{i}}$ состоит из вектора данных ${\displaystyle \mathbf {d} }$ плюс случайный вектор из ${\displaystyle m}$-мерное нормальное распределение ${\displaystyle N(0,R)}$. Если, кроме того, столбцы ${\displaystyle X}$ являются образцом из априорная вероятность распределения, то столбцы

${\displaystyle {\hat {X}}=X+K(D-HX)}$

сформировать образец из апостериорная вероятность распределение. Чтобы увидеть это в скалярном случае с ${\displaystyle H=1}$: Позволять ${\displaystyle x_{i}=\mu +\xi _{i},\;\xi _{i}\sim N(0,\sigma _{x}^{2})}$, и ${\displaystyle d_{i}=d+\epsilon _{i},\;\epsilon _{i}\sim N(0,\sigma _{d}^{2}).}$ потом

${\displaystyle {\hat {x}}_{i}=\left({\frac {1/\sigma _{x}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\mu +{\frac {1/\sigma _{d}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}d\right)+\left({\frac {1/\sigma _{x}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\xi _{i}+{\frac {1/\sigma _{d}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\epsilon _{i}\right)}$.

Первая сумма - это апостериорное среднее, а вторая сумма, ввиду независимости, имеет дисперсию

${\displaystyle \left({\frac {1/\sigma _{x}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\right)^{2}\sigma _{x}^{2}+\left({\frac {1/\sigma _{d}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\right)^{2}\sigma _{d}^{2}={\frac {1}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}}$,

что является апостериорной дисперсией.

EnKF теперь получается простой заменой ковариации состояний ${\displaystyle Q}$ в матрице усиления Калмана ${\displaystyle K}$ по выборочной ковариации ${\displaystyle C}$ вычисляется из членов ансамбля (называемых ковариация ансамбля),^[6] то есть: ${\displaystyle K=CH^{\mathrm {T} }\left(HCH^{\mathrm {T} }+R\right)^{-1}}$

Выполнение

Базовая формулировка

Вот и следим.^[7][8] Предположим, что матрица ансамбля ${\displaystyle X}$ и матрица данных ${\displaystyle D}$ такие же, как указано выше. Среднее по ансамблю и ковариация равны

${\displaystyle E\left(X\right)={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {x} _{k},\quad C={\frac {AA^{T}}{N-1}},}$

куда

${\displaystyle A=X-E\left(X\right)\mathbf {e} _{1\times N}=X-{\frac {1}{N}}\left(X\mathbf {e} _{N\times 1}\right)\mathbf {e} _{1\times N},}$

и ${\displaystyle \mathbf {e} }$ обозначает матрицу всех единиц указанного размера.

Задний ансамбль ${\displaystyle X^{p}}$ тогда дается

${\displaystyle X^{p}=X+CH^{T}\left(HCH^{T}+R\right)^{-1}(D-HX),}$

где возмущенная матрица данных ${\displaystyle D}$ как указано выше.

Обратите внимание, что поскольку ${\displaystyle R}$ ковариационная матрица, она всегда положительно полуопределенный и обычно положительно определенный, поэтому существует обратное выше, и формула может быть реализована с помощью Разложение Холецкого.^[9] В,^[7][8] ${\displaystyle R}$ заменяется выборкой ковариации ${\displaystyle {\tilde {D}}{\tilde {D}}^{T}/\left(N-1\right)}$ куда ${\displaystyle {\tilde {D}}=D-{\frac {1}{N}}d\,\mathbf {e} _{1\times N}}$а обратное заменяется на псевдообратный, вычисленный с использованием сингулярное разложение (СВД).

Поскольку эти формулы являются матричными операциями с доминирующим Уровень 3 операции,^[10] они подходят для эффективной реализации с использованием программных пакетов, таких как ЛАПАК (по серийным и Общая память компьютеры) и ScaLAPACK (на распределенная память компьютеры).^[9] Вместо вычисления обратный матрицы и умножая на нее, гораздо лучше (в несколько раз дешевле и точнее) вычислить Разложение Холецкого матрицы и рассматривать умножение на обратное как решение линейной системы с множеством одновременных правых частей.^[10]

Реализация без матрицы наблюдения

Поскольку мы заменили ковариационную матрицу на ансамблевую ковариацию, это приводит к более простой формуле, в которой наблюдения ансамбля используются напрямую без явного указания матрицы ${\displaystyle H}$. Более конкретно, определите функцию ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ формы

${\displaystyle h(\mathbf {x} )=H\mathbf {x} .}$

Функция ${\displaystyle h}$ называется функция наблюдения или в обратные задачи контекст, оператор пересылки. Значение ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ какова будет ценность данных для состояния ${\displaystyle \mathbf {x} }$ при условии, что измерение точное. Тогда апостериорный ансамбль можно переписать как

${\displaystyle X^{p}=X+{\frac {1}{N-1}}A\left(HA\right)^{T}P^{-1}(D-HX)}$

куда

${\displaystyle HA=HX-{\frac {1}{N}}\left(\left(HX\right)\mathbf {e} _{N\times 1}\right)\mathbf {e} _{1\times N},}$

и

${\displaystyle P={\frac {1}{N-1}}HA\left(HA\right)^{T}+R,}$

с

${\displaystyle \left[HA\right]_{i}=H\mathbf {x} _{i}-H{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {x} _{j}\ =h\left(\mathbf {x} _{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}h\left(\mathbf {x} _{j}\right).}$

Следовательно, обновление ансамбля может быть вычислено путем оценки функции наблюдения ${\displaystyle h}$ на каждом члене ансамбля один раз и матрица ${\displaystyle H}$ не нужно знать явно. Эта формула также верна^[9] для функции наблюдения ${\displaystyle h(\mathbf {x} )=H\mathbf {x+f} }$ с фиксированным смещением ${\displaystyle \mathbf {f} }$, который также не нужно знать явно. Вышеупомянутая формула обычно использовалась для нелинейной функции наблюдения ${\displaystyle h}$, например, положение ураган вихрь.^[11] В этом случае функция наблюдения по существу аппроксимируется линейной функцией от ее значений в членах ансамбля.

Реализация для большого количества точек данных

Для большого количества ${\displaystyle m}$ точек данных, умножение на ${\displaystyle P^{-1}}$ становится узким местом. Следующая альтернативная формула полезна, когда количество точек данных ${\displaystyle m}$ большой (например, при ассимиляции данных с координатной сеткой или пикселей), а ошибка данных ковариационная матрица ${\displaystyle R}$ является диагональным (что имеет место, когда ошибки данных не коррелированы) или дешевым для разложения (например, полосатым из-за ограниченного ковариационного расстояния). С использованием Формула Шермана – Моррисона – Вудбери^[12]

${\displaystyle (R+UV^{T})^{-1}=R^{-1}-R^{-1}U(I+V^{T}R^{-1}U)^{-1}V^{T}R^{-1},}$

с

${\displaystyle U={\frac {1}{N-1}}HA,\quad V=HA,}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}P^{-1}&=\left(R+{\frac {1}{N-1}}HA\left(HA\right)^{T}\right)^{-1}\ =\\&=R^{-1}\left[I-{\frac {1}{N-1}}\left(HA\right)\left(I+\left(HA\right)^{T}R^{-1}{\frac {1}{N-1}}\left(HA\right)\right)^{-1}\left(HA\right)^{T}R^{-1}\right],\end{aligned}}}$

что требует только решения систем с матрицей ${\displaystyle R}$ (предполагается, что это дешево) и системы размера ${\displaystyle N}$ с ${\displaystyle m}$ правые части. Видеть^[9] для подсчета операций.

Дальнейшие расширения

Описанная здесь версия EnKF включает рандомизацию данных. Для фильтров без рандомизации данных см..^[13][14][15]

Поскольку ковариация ансамбля равна не имеющий ранга (переменных состояния намного больше, обычно миллионов, чем членов ансамбля, обычно меньше сотни), в нем есть большие члены для пар точек, которые пространственно удалены. Поскольку на самом деле значения физических полей в удаленных местах не так уж и велики. коррелированный, ковариационная матрица искусственно сужается в зависимости от расстояния, что приводит к локализованный EnKF алгоритмы.^[16][17] Эти методы изменяют ковариационную матрицу, используемую в вычислениях, и, следовательно, апостериорный ансамбль больше не состоит только из линейных комбинаций предыдущего ансамбля.

Для нелинейных задач EnKF может создать апостериорный ансамбль с нефизическими состояниями. Это можно облегчить регуляризация, Такие как наказание состояний с большими пространственными градиенты.^[6]

Для проблем с согласованные черты, Такие как ураганы, грозы, линии огня, линии шквала, и фронты дождя возникает необходимость корректировки состояния численной модели путем деформации состояния в пространстве (ее сетки), а также путем аддитивной корректировки амплитуд состояний. В 2007 году Равела и др. представить совместную модель корректировки положения и амплитуды с использованием ансамблей и систематически получить последовательное приближение, которое может применяться как к EnKF, так и к другим формулировкам.^[18] Их метод не предполагает, что амплитуды и ошибки положения являются независимыми или совместно гауссовыми, как это делают другие. В морфинге EnKF используются промежуточные состояния, полученные методами, заимствованными из регистрация изображения и морфинг, а не линейные комбинации состояний.^[19][20]

EnKF полагаются на предположение Гаусса, хотя на практике они используются для нелинейных задач, где предположение Гаусса может не выполняться. Связанные фильтры, пытающиеся ослабить допущение Гаусса в EnKF при сохранении его преимуществ, включают фильтры, которые соответствуют государственному PDF с несколькими гауссовскими ядрами,^[21] фильтры, приближающие состояние PDF к Гауссовы смеси,^[22] вариант фильтр твердых частиц с вычислением веса частиц по оценка плотности,^[20] и вариант сажевого фильтра с толстохвостый данные pdf для облегчения дегенеративность сажевого фильтра.^[23]

Смотрите также

• Ассимиляция данных
• Численный прогноз погоды # Ансамбли
• Фильтр твердых частиц
• Рекурсивная байесовская оценка

Рекомендации

1. Кальман, Р. Э. (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии. 82 (1): 35–45. Дои:10.1115/1.3662552. S2CID  1242324.
2. Эвенсен, Г. (1994). «Последовательная ассимиляция данных с нелинейной квазигеострофической моделью с использованием методов Монте-Карло для прогнозирования статистики ошибок». Журнал геофизических исследований. 99 (C5): 143–162. Bibcode:1994JGR .... 9910143E. Дои:10.1029 / 94JC00572. HDL:1956/3035.
3. Houtekamer, P .; Митчелл, Х. Л. (1998). «Ассимиляция данных с использованием ансамблевого фильтра Калмана». Ежемесячный обзор погоды. 126 (3): 796–811. Bibcode:1998MWRv..126..796H. CiteSeerX  10.1.1.3.1706. Дои:10.1175 / 1520-0493 (1998) 126 <0796: DAUAEK> 2.0.CO; 2.
4. Для обзора EnKF и связанных методов ассимиляции данных см. Эвенсен, Г. (2007). Ассимиляция данных: ансамблевый фильтр Калмана. Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-38300-0.
5. Андерсон, Б. Д. О .; Мур, Дж. Б. (1979). Оптимальная фильтрация. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-638122-8.
6. Johns, C.J .; Мандель, Дж. (2008). "Двухэтапный ансамблевый фильтр Калмана для плавного усвоения данных". Экологическая и экологическая статистика. 15 (1): 101–110. CiteSeerX  10.1.1.67.4916. Дои:10.1007 / s10651-007-0033-0. S2CID  14820232.
7. Burgers, G .; van Leeuwen, P.J .; Эвенсен, Г. (1998). «Схема анализа в ансамблевом фильтре Калмана». Ежемесячный обзор погоды. 126 (6): 1719–1724. Bibcode:1998MWRv..126.1719B. CiteSeerX  10.1.1.41.5827. Дои:10.1175 / 1520-0493 (1998) 126 <1719: ASITEK> 2.0.CO; 2.
8. Эвенсен, Г. (2003). «Ансамблевый фильтр Калмана: теоретическая формулировка и практическая реализация». Ocean Dynamics. 53 (4): 343–367. Bibcode:2003OcDyn..53..343E. CiteSeerX  10.1.1.5.6990. Дои:10.1007 / s10236-003-0036-9. S2CID  129233333.
9. Мандель, Дж. (Июнь 2006 г.). «Эффективная реализация ансамблевого фильтра Калмана» (PDF). Центр отчетов по вычислительной математике. Университет Колорадо в Денвере и Центр медицинских наук. 231.
10. Голуб, Г.Х.; Ссуда, К.Ф.В. (1989). Матричные вычисления (Второе изд.). Балтимор: Johns Hopkins Univ. Нажмите. ISBN  978-0-8018-3772-2.
11. Chen, Y .; Снайдер, К. (2007). "Ассимиляция положения вихря с помощью ансамблевого фильтра Калмана". Ежемесячный обзор погоды. 135 (5): 1828–1845. Bibcode:2007MWRv..135.1828C. Дои:10.1175 / MWR3351.1.
12. Hager, W. W. (1989). «Обновление инверсии матрицы». SIAM Обзор. 31 (2): 221–239. Дои:10.1137/1031049.
13. Андерсон, Дж. Л. (2001). «Фильтр Калмана настройки ансамбля для усвоения данных». Ежемесячный обзор погоды. 129 (12): 2884–2903. Bibcode:2001MWRv..129.2884A. CiteSeerX  10.1.1.5.9952. Дои:10.1175 / 1520-0493 (2001) 129 <2884: AEAKFF> 2.0.CO; 2.
14. Эвенсен, Г. (2004). «Стратегии выборки и схемы анализа квадратного корня для EnKF». Ocean Dynamics. 54 (6): 539–560. Bibcode:2004OcDyn..54..539E. CiteSeerX  10.1.1.3.6213. Дои:10.1007 / s10236-004-0099-2. S2CID  120171951.
15. Типпет, М. К .; Андерсон, Дж. Л .; Bishop, C.H .; Hamill, T. M .; Уитакер, Дж. С. (2003). «Ансамблевые фильтры с квадратным корнем». Ежемесячный обзор погоды. 131 (7): 1485–1490. Bibcode:2003MWRv..131.1485T. CiteSeerX  10.1.1.332.775. Дои:10.1175 / 1520-0493 (2003) 131 <1485: ESRF> 2.0.CO; 2.
16. Андерсон, Дж. Л. (2003). «Локальная структура наименьших квадратов для ансамблевой фильтрации». Ежемесячный обзор погоды. 131 (4): 634–642. Bibcode:2003MWRv..131..634A. CiteSeerX  10.1.1.10.6543. Дои:10.1175 / 1520-0493 (2003) 131 <0634: ALLSFF> 2.0.CO; 2.
17. Отт, Э.; Хант, Б. Р .; Szunyogh, I .; Зимин, А. В .; Kostelich, E.J .; Corazza, M .; Калнай, Э.; Патил, Д .; Йорк, Дж. А. (2004). «Локальный ансамблевой фильтр Калмана для ассимиляции атмосферных данных». Теллус А. 56 (5): 415–428. arXiv:физика / 0203058. Bibcode:2004TellA..56..415O. Дои:10.3402 / tellusa.v56i5.14462. S2CID  218577557.
18. Ravela, S .; Эмануэль, К.; Маклафлин, Д. (2007). «Ассимиляция данных путем выравнивания полей». Physica. D: Нелинейные явления. 230 (1–2): 127–145. Bibcode:2007PhyD..230..127R. Дои:10.1016 / j.physd.2006.09.035.
19. Beezley, J.D .; Мандель, Дж. (2008). «Морфирующий ансамбль фильтров Калмана». Теллус А. 60 (1): 131–140. arXiv:0705.3693. Bibcode:2008TellA..60..131B. Дои:10.1111 / j.1600-0870.2007.00275.x. S2CID  1009227.
20. Mandel, J .; Бизли, Дж. Д. (ноябрь 2006 г.). Предиктор-корректор и фильтры морфинга ансамбля для ассимиляции разреженных данных в нелинейные системы большой размерности (PDF). 11-й симпозиум по комплексным системам наблюдения и ассимиляции атмосферы, океанов и поверхности суши (IOAS-AOLS), CD-ROM, документ 4.12, 87-е ежегодное собрание Американского метеорологического общества, Сан-Антонио, Техас, январь 2007 г. Отчет СКК 239. Университет Колорадо в Денвере и Центр медицинских наук.
21. Андерсон, Дж. Л .; Андерсон, С. Л. (1999). «Монте-Карло реализация задачи нелинейной фильтрации для получения ансамблевых ассимиляций и прогнозов». Ежемесячный обзор погоды. 127 (12): 2741–2758. Bibcode:1999MWRv..127.2741A. Дои:10.1175 / 1520-0493 (1999) 127 <2741: AMCIOT> 2.0.CO; 2.
22. Bengtsson, T .; Снайдер, К .; Нычка, Д. (2003). «К нелинейному ансамблевому фильтру для систем большой размерности». Журнал геофизических исследований: атмосферы. 108 (D24): СТС 2–1–10. Bibcode:2003JGRD..108.8775B. Дои:10.1029 / 2002JD002900.
23. ван Леувен, П. (2003). «Фильтр минимизации дисперсии для крупномасштабных приложений». Ежемесячный обзор погоды. 131 (9): 2071–2084. Bibcode:2003MWRv..131.2071V. CiteSeerX  10.1.1.7.3719. Дои:10.1175 / 1520-0493 (2003) 131 <2071: AVFFLA> 2.0.CO; 2.

внешняя ссылка

• Веб-страница EnKF
• TOPAZ, прогнозирование состояния северной части Атлантического океана и морского льда в Арктике в режиме реального времени с помощью EnKF
• EnKF-C, компактная платформа для ассимиляции данных в крупномасштабные слоистые геофизические модели с EnKF
• PDAF – Платформа параллельной ассимиляции данных - программное обеспечение с открытым исходным кодом для ассимиляции данных, предоставляющее различные варианты EnKF