Эйзенштейн идеал - Eisenstein ideal

В математика, то Эйзенштейн идеал является идеальный в кольцо эндоморфизмов из Якобиева многообразие из модульная кривая, состоящий примерно из элементов Алгебра Гекке из Операторы Гекке которые уничтожают Серия Эйзенштейна. Он был представлен Барри Мазур  (1977 ) при изучении рациональных точек модулярных кривых. An Эйзенштейн простое является простым числом, поддерживающим идеал Эйзенштейна (это не имеет ничего общего с простыми числами в целых числах Эйзенштейна).

Определение

Позволять N быть рациональным простым числом, и определим

J0(N) = J

как якобиево многообразие модулярной кривой

Икс0(N) = Икс.

Есть эндоморфизмы Тл из J для каждого простого числа л не делящий N. Они исходят от оператора Гекке, который сначала рассматривается как алгебраическое соответствие на Икс, и оттуда как действующий на классы делителей, который дает действие на J. Также есть Инволюция Фрике ш (и Инволюции Аткина – Ленера если N составной). Идеал Эйзенштейна в (унитальном) подкольце End (J), порожденное кольцом Тл, порождается как идеал элементами

Тл − л - 1

для всех л не делящий N, и по

ш + 1.

Геометрическое определение

Предположим, что Т* - кольцо, порожденное операторами Гекке, действующими на всех модулярных формах для Γ0(N) (не только куспиды). Кольцо Т операторов Гекке на параболических формах является частным от Т*, поэтому Spec (Т) можно рассматривать как подсхему Spec (Т*). Аналогично Spec (Т*) содержит линию (называемую линией Эйзенштейна), изоморфную Spec (Z), возникающие из действия операторов Гекке на ряды Эйзенштейна. Идеал Эйзенштейна - это идеал, определяющий пересечение линии Эйзенштейна с Spec (Т) в Spec (Т*).

Пример

  • Идеал Эйзенштейна также может быть определен для модульных форм с большим весом. Предположим, что Т полная алгебра Гекке, порожденная операторами Гекке Тп действующее на двумерное пространство модулярных форм уровня 1 и веса 12. Это пространство двумерно, оно натянуто на собственные формы, заданные Серия Эйзенштейна E12 и модульный дискриминант Δ. Карта с оператором Гекке Тп своим собственным значениям (σ11(п), τ (n)) дает гомоморфизм из Т в кольцо Z×Z (где τ - Рамануджан тау функция и σ11(п) - сумма 11-й степени делителей п). Изображение представляет собой набор пар (c,d) с c и d congruent mod 691 из-за сравнения Рамануджана σ11(п) ≡ τ (n) mod 691. Алгебра Гекке операторов Гекке, действующих на касп-форму ∆, просто изоморфна Z. Если мы отождествим его с Z то идеал Эйзенштейна равен (691).

Рекомендации

  • Мазур, Барри (1977), «Модульные кривые и идеал Эйзенштейна», Публикации Mathématiques de l'IHÉS (47): 33–186, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  0488287
  • Мазур, Барри; Серр, Жан-Пьер (1976), "Points rationnels des Courbes modulaires X₀ (N) (d'après A. Ogg)", Семинэр Бурбаки (1974/1975), опыт. № 469, Конспект лекций по математике, 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 238–255, МИСТЕР  0485882