Уравнения Эренфеста - Ehrenfest equations

Уравнения Эренфеста (названный в честь Поль Эренфест ) - уравнения, описывающие изменения в конкретных теплоемкость и производные от удельный объем во втором порядке фазовые переходы. В Соотношение Клаузиуса – Клапейрона не имеет смысла для фазовых переходов второго рода,^[1] как конкретные энтропия и удельный объем не изменяются при фазовых переходах второго рода.

Количественное рассмотрение

Уравнения Эренфеста являются следствием непрерывности удельной энтропии ${\displaystyle s}$ и удельный объем ${\displaystyle v}$, которые являются первыми производными от конкретных Свободная энергия Гиббса - при фазовых переходах второго рода. Если учесть удельную энтропию ${\displaystyle s}$ как функция температура и давление, то его дифференциал является:${\displaystyle ds=\left({{\partial s} \over {\partial T}}\right)_{P}dT+\left({{\partial s} \over {\partial P}}\right)_{T}dP}$.Так как ${\displaystyle \left({{\partial s} \over {\partial T}}\right)_{P}={{c_{P}} \over T},\left({{\partial s} \over {\partial P}}\right)_{T}=-\left({{\partial v} \over {\partial T}}\right)_{P}}$, то дифференциал удельной энтропии также равен:

${\displaystyle d{s_{i}}={{c_{iP}} \over T}dT-\left({{\partial v_{i}} \over {\partial T}}\right)_{P}dP}$,

где ${\displaystyle i=1}$ и ${\displaystyle i=2}$ это две фазы, которые переходят одна в другую. Из-за непрерывности удельной энтропии при фазовых переходах второго рода выполняется следующее: ${\displaystyle {ds_{1}}={ds_{2}}}$. Так,

${\displaystyle \left({c_{2P}-c_{1P}}\right){{dT} \over T}=\left[{\left({{\partial v_{2}} \over {\partial T}}\right)_{P}-\left({{\partial v_{1}} \over {\partial T}}\right)_{P}}\right]dP}$

Следовательно, первое уравнение Эренфеста:

${\displaystyle {\Delta c_{P}=T\cdot \Delta \left({\left({{\partial v} \over {\partial T}}\right)_{P}}\right)\cdot {{dP} \over {dT}}}}$.

Второе уравнение Эренфеста получается аналогичным образом, но удельная энтропия рассматривается как функция температуры и удельного объема:

${\displaystyle {\Delta c_{V}=-T\cdot \Delta \left({\left({{\partial P} \over {\partial T}}\right)_{v}}\right)\cdot {{dv} \over {dT}}}}$

Третье уравнение Эренфеста получается аналогичным образом, но удельная энтропия рассматривается как функция ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle {\Delta \left({{\partial v} \over {\partial T}}\right)_{P}=\Delta \left({\left({{\partial P} \over {\partial T}}\right)_{v}}\right)\cdot {{dv} \over {dP}}}}$.

Непрерывность удельного объема в зависимости от ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle P}$ дает четвертое уравнение Эренфеста:

${\displaystyle {\Delta \left({{\partial v} \over {\partial T}}\right)_{P}=-\Delta \left({\left({{\partial v} \over {\partial P}}\right)_{T}}\right)\cdot {{dP} \over {dT}}}}$.

Ограничения

Производные Свободная энергия Гиббса не всегда конечны. Переходы между различными магнитными состояниями металлов нельзя описать уравнениями Эренфеста.

Смотрите также

• Поль Эренфест
• Соотношение Клаузиуса – Клапейрона
• Фаза перехода

использованная литература

1. Сивухин Д.В. Курс общей физики. V.2. Термодинамика и молекулярная физика. 2005