Диадические кубики - Dyadic cubes

В математика, то диадические кубики представляют собой собрание кубики в р^п разных размеров или масштабов, так что набор кубиков каждого масштаба раздел р^п и каждый куб в одном масштабе может быть записан как объединение кубов меньшего масштаба. Они часто используются в математике (особенно гармонический анализ ) как способ дискретизации объектов для облегчения вычислений или анализа. Например, чтобы изучить произвольное подмножество А из Евклидово пространство, вместо этого можно заменить его объединением диадических кубов определенного размера, которые крышка набор. Этот набор можно рассматривать как пиксельную версию исходного набора, и по мере использования кубиков меньшего размера получается более четкое изображение набора. А. Наиболее заметные проявления диадических кубов включают Теорема Уитни о расширении и Лемма Кальдерона – Зигмунда..

Диадические кубы в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве диадические кубы могут быть построены следующим образом: для каждого целого числа k пусть Δ_k быть набором кубиков в р^п стороны длины 2^−k и уголки в комплекте

${\displaystyle 2^{-k}\mathbf {Z} ^{n}=\left\{2^{-k}(v_{1},\dots ,v_{n}):v_{j}\in \mathbf {Z} \right\}}$

и пусть ∆ - объединение всех ∆_k.

Наиболее важными особенностями этих кубиков являются следующие:

1. Для каждого целого числа k, Δ_k перегородки р^п.
2. Все кубики в Δ_k имеют одинаковую длину стороны, а именно 2^−k.
3. Если интерьеры из двух кубиков Q и р в Δ имеют непустое пересечение, то либо Q содержится в р или же р содержится в Q.
4. Каждый Q в Δ_k можно записать как объединение 2^п кубы в Δ_k+1 с непересекающимися интерьерами.

Мы используем слово «разделение» несколько вольно: хотя их союз - это все р^п, кубы в Δ_k могут перекрывать свои границы. Однако эти совпадения нулевая мера Лебега, и поэтому для большинства приложений эта немного более слабая форма разделения не помеха.

Также может показаться странным, что больше k соответствует кубикам меньшего размера. Можно думать о k как степень увеличения. Однако на практике, полагая Δ_k - набор кубиков со стороной 2^k или 2^−k это вопрос предпочтения или удобства.

Уловка на одну треть

Одним из недостатков диадических кубов в евклидовом пространстве является то, что они слишком сильно зависят от конкретного положения кубов. Например, для диадических кубов Δ, описанных выше, невозможно содержать произвольные мяч внутри некоторых Q в Δ (рассмотрим, например, единичный шар с центром в нуле). В качестве альтернативы может быть такой куб, который содержит мяч, но размеры шара и куба очень разные. Из-за этого предостережения иногда бывает полезно работать с двумя или более коллекциями диадических кубов одновременно.

Определение

Следующее известно как одна третья уловка:^[1]

Пусть Δ_k быть диадическими кубами масштаба k как указано выше. Определять

${\displaystyle \Delta _{k}^{\alpha }=\{Q+\alpha :Q\in \Delta _{k}\}.}$

Это набор диадических кубов в Δ_k переводится вектором α. Для каждого такого α пусть ∆^α - объединение Δ_k^α над k.

• Есть универсальная константа C > 0 такое, что для любого шара B с радиусом р <1/3, существует α в {0,1 / 3}^п и куб Q в Δ^α содержащий B диаметр которых не более Cr.
• В более общем смысле, если B мяч с любой радиус р > 0, в {0, 1/3, 4/3, 4²/3, ...}^п и куб Q в Δ^α содержащий B диаметр которых не более Cr.

Пример приложения

Уловка одной трети привлекательна тем, что можно сначала доказать диадические версии теоремы, а затем вывести из них «недиадические» теоремы. Например, вспомним Максимальная функция Харди-Литтлвуда

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dy}$

куда ж это локально интегрируемая функция и |B(Икс, р) | обозначает меру шара B(Икс, р). В Максимальное неравенство Харди – Литтлвуда заявляет, что для интегрируемый функция ж,

${\displaystyle \left|\{x\in \mathbf {R} ^{n}:Mf(x)>\lambda \}\right|\leq {\frac {C_{n}}{\lambda }}\|f\|_{1}}$

при λ> 0 где C_п - некоторая константа, зависящая только от размерности.

Эта теорема обычно доказывается с использованием Лемма Витали о покрытии. Однако можно избежать использования этой леммы, если сначала докажем указанное неравенство для диадические максимальные функции

${\displaystyle M_{\Delta ^{\alpha }}f(x)=\sup _{x\in Q\in \Delta ^{\alpha }}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)|dx.}$

Доказательство аналогично доказательству исходной теоремы, однако свойства диадических кубов избавляют нас от необходимости использовать лемму Витали о покрытии. Затем мы можем вывести исходное неравенство, используя прием одной трети.

Диадические кубы в метрических пространствах

Аналоги диадических кубов могут быть построены в некоторых метрические пространства.^[2] В частности, пусть Икс метрическое пространство с метрикой d который поддерживает удвоение меры µ, т.е. такая мера, что при Икс ∈ Икс и р > 0 имеется:

${\displaystyle \mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))}$

куда C > 0 - универсальная постоянная, не зависящая от выбора Икс и р.

Если Икс поддерживает такую ​​меру, то существуют наборы множеств ∆_k такие, что они (и их объединение Δ) удовлетворяют следующему:

• Для каждого целого числа k, Δ_k перегородки Икс, в том смысле, что

${\displaystyle \mu \left(X\backslash \bigcup \nolimits _{Q\in \Delta _{k}}Q\right)=0.}$

• Все наборы Q в Δ_k примерно одинакового размера. Точнее, каждый такой Q имеет центр z_Q такой, что

${\displaystyle B(z_{Q},c_{1}\delta ^{k})\subseteq Q\subseteq B(z_{Q},c_{2}\delta ^{k})}$

куда c₁, c₂, и δ положительные константы, зависящие только от константы удвоения C меры µ и не зависит от Q.

• Каждый Q в Δ_k содержится в уникальном наборе р в Δ_k−1.
• Есть постоянные постоянные C₃, η> 0, зависящее только от µ, такое, что для всех k и т > 0,

${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in Q:d(x,X\backslash Q)\leq t\delta ^{k}\right\}\right)\leq C_{3}t^{\eta }\mu (Q).}$

Эти условия очень похожи на свойства обычных евклидовых кубов, описанных ранее. Последнее условие говорит о том, что область у границы «куба» Q в Δ мала, что является само собой разумеющимся свойством в евклидовом случае, хотя очень важно для расширения результатов из гармонический анализ к настройке метрического пространства.

Смотрите также

• Quadtree
• Вейвлет-преобразование

Рекомендации

1. Окикиолу, Кейт (1992). "Характеризация подмножеств спрямляемых кривых в R^п". J. London Math. Soc. Серия 2. 46 (2): 336–348.
2. Христос, Майкл (1990). «Теорема T (b) с замечаниями об аналитической емкости и интеграле Коши». Коллок. Математика. 60/61 (2): 601–628.