Дискретные полиномы Чебышева - Discrete Chebyshev polynomials

В математике дискретные полиномы Чебышева, или же Полиномы Грама, являются разновидностью дискретные ортогональные многочлены используется в теория приближения, представлен Пафнутый Чебышев  (1864 ) и заново открыл Грамм  (1883 ).

Элементарное определение

Дискретный полином Чебышева является многочленом степени п в Икс,за , построенный таким образом, что два многочлена неравной степени ортогональны относительно весовой функции

с - дельта-функция Дирака. То есть,

Интеграл слева на самом деле является суммой из-за дельта-функции, и мы имеем

Таким образом, хотя является многочленом от , только его значения в дискретном наборе точек, имеют какое-либо значение. Тем не менее, поскольку эти многочлены могут быть определены в терминах ортогональности по отношению к неотрицательной весовой функции, применима вся теория ортогональных многочленов. В частности, полиномы полны в том смысле, что

Чебышев выбрал нормировку так, чтобы

Это полностью фиксирует многочлены вместе с соглашением о знаках, .


Расширенное определение

Позволять ж быть гладкая функция определены на закрытый интервал [−1, 1], значения которых известны явно только в точках Иксk := −1 + (2k − 1)/м, куда k и м находятся целые числа и 1 ≤k ≤ м. Задача - приблизить ж как многочлен степени п < м. Рассмотрим положительный полуопределенный билинейная форма

куда грамм и час находятся непрерывный на [−1, 1] и пусть

быть дискретным полунорма. Позволять быть семья ортогональных друг другу многочленов

всякий раз, когда i не равно k. Предположим, что все многочлены иметь положительный ведущий коэффициент и они являются нормализованный таким образом, что

В называются дискретными многочленами Чебышева (или Грама).[1]

Рекомендации

  1. ^ Р. В. Барнард; Г. Дальквист; К. Пирс; Л. Райхель; К.С. Ричардс (1998). «Полиномы Грама и функция Куммера». Журнал теории приближений. 94: 128–143. Дои:10.1006 / jath.1998.3181.