Дискретные полиномы Чебышева - Discrete Chebyshev polynomials

Не путать с Полиномы Чебышева.

В математике дискретные полиномы Чебышева, или же Полиномы Грама, являются разновидностью дискретные ортогональные многочлены используется в теория приближения, представлен Пафнутый Чебышев  (1864 ) и заново открыл Грамм  (1883 ).

Элементарное определение

Дискретный полином Чебышева ${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$ является многочленом степени п в Икс,за ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,N-1}$, построенный таким образом, что два многочлена неравной степени ортогональны относительно весовой функции

${\displaystyle w(x)=\sum _{r=0}^{N-1}\delta (x-r)}$

с ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ - дельта-функция Дирака. То есть,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t_{n}^{N}(x)t_{m}^{N}(x)w(x)=0\quad {\rm {if\ }}\quad n\neq m.}$

Интеграл слева на самом деле является суммой из-за дельта-функции, и мы имеем

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{m}^{N}(r)=0\quad {\rm {if\ }}\quad n\neq m.}$

Таким образом, хотя ${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$ является многочленом от ${\displaystyle x}$, только его значения в дискретном наборе точек,${\displaystyle x=0,1,2,\ldots ,N-1}$ имеют какое-либо значение. Тем не менее, поскольку эти многочлены могут быть определены в терминах ортогональности по отношению к неотрицательной весовой функции, применима вся теория ортогональных многочленов. В частности, полиномы полны в том смысле, что

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(s)=0\quad {\rm {if\ }}\quad r\neq s.}$

Чебышев выбрал нормировку так, чтобы

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(r)={\frac {N}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}(N^{2}-k^{2}).}$

Это полностью фиксирует многочлены вместе с соглашением о знаках, ${\displaystyle t_{n}^{N}(N-1)>0}$.

Расширенное определение

Позволять ж быть гладкая функция определены на закрытый интервал [−1, 1], значения которых известны явно только в точках Икс_k := −1 + (2k − 1)/м, куда k и м находятся целые числа и 1 ≤k ≤ м. Задача - приблизить ж как многочлен степени п < м. Рассмотрим положительный полуопределенный билинейная форма

${\displaystyle \left(g,h\right)_{d}:={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}{g(x_{k})h(x_{k})},}$

куда грамм и час находятся непрерывный на [−1, 1] и пусть

${\displaystyle \left\|g\right\|_{d}:=(g,g)_{d}^{1/2}}$

быть дискретным полунорма. Позволять ${\displaystyle \varphi _{k}}$ быть семья ортогональных друг другу многочленов

${\displaystyle \left(\varphi _{k},\varphi _{i}\right)_{d}=0}$

всякий раз, когда i не равно k. Предположим, что все многочлены ${\displaystyle \varphi _{k}}$ иметь положительный ведущий коэффициент и они являются нормализованный таким образом, что

${\displaystyle \left\|\varphi _{k}\right\|_{d}=1.}$

В ${\displaystyle \varphi _{k}}$ называются дискретными многочленами Чебышева (или Грама).^[1]

Рекомендации

1. Р. В. Барнард; Г. Дальквист; К. Пирс; Л. Райхель; К.С. Ричардс (1998). «Полиномы Грама и функция Куммера». Журнал теории приближений. 94: 128–143. Дои:10.1006 / jath.1998.3181.

• Чебышев, П. (1864), "Sur l'interpolation", Записки Академии Наук, 4, Oeuvres Vol 1 p. 539–560
• Грам, Дж. П. (1883), "Ueber die Entwickelung Reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate", Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком), 1883 (94): 41–73, Дои:10.1515 / crll.1883.94.41, JFM  15.0321.03