Диффеоморфометрия - Diffeomorphometry

Дальнейшая информация: Вычислительная анатомия

Диффеоморфометрия метрическое исследование образов, форм и форм в дисциплине вычислительная анатомия (CA) в медицинская визуализация. Изучение изображений в вычислительная анатомия полагаться на многомерные диффеоморфизм группы ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ которые порождают орбиты вида ${\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$, в которых изображения ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ может быть плотным скаляром магнитный резонанс или же компьютерная аксиальная томография изображений. За деформируемые формы это коллекция коллекторы ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$, точки, кривые и поверхности. Диффеоморфизмы перемещают изображения и фигуры по орбите в соответствии с ${\displaystyle (\varphi ,I)\mapsto \varphi \cdot I}$ которые определяются как групповые действия вычислительной анатомии.

Орбита фигур и форм превращается в метрическое пространство путем наведения метрики на группу диффеоморфизмов. Изучение метрик на группах диффеоморфизмов и изучение метрик между многообразиями и поверхностями было областью значительных исследований.^{[1][2][3][4][5][6]} В разделе «Вычислительная анатомия» показатель диффеоморфометрии измеряет, насколько близко и далеко друг от друга находятся две фигуры или изображения. Неофициально метрика строится путем определения потока диффеморфизмов ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t},t\in [0,1],\phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ которые соединяют элементы группы друг с другом, поэтому для ${\displaystyle \varphi ,\psi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ тогда ${\displaystyle \phi _{0}=\varphi ,\phi _{1}=\psi }$. Тогда метрика между двумя системами координат или диффеоморфизмами является кратчайшей длиной или геодезический поток соединяя их. Метрика на пространстве, связанном с геодезическими, задается формулой${\displaystyle \rho (\varphi ,\psi )=\inf _{\phi :\phi _{0}=\varphi ,\phi _{1}=\psi }\int _{0}^{1}\|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}\,dt}$. Метрики на орбитах ${\displaystyle {\mathcal {I}},{\mathcal {M}}}$ наследуются от метрики, индуцированной на группе диффеоморфизмов.

Группа ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ таким образом превращается в гладкую Риманово многообразие с римановой метрикой ${\displaystyle \|\cdot \|_{\varphi }}$ связанных с касательными пространствами вообще ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$. В Риманова метрика удовлетворяет в каждой точке многообразия ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ существует внутренний продукт введение нормы на касательное пространство ${\displaystyle \|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}}$ который плавно меняется по ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$.

Часто знакомые Евклидова метрика не применяется напрямую, потому что образцы форм и изображений не образуют векторное пространство. в Риманова орбитальная модель вычислительной анатомии, диффеоморфизмы, действующие на формы ${\displaystyle \varphi \cdot I\in {\mathcal {I}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},M\in {\mathcal {M}}}$ не действуйте линейно. Есть много способов определить показатели, и для наборов, связанных с формированием Метрика Хаусдорфа Другой. Метод, используемый для индукции Риманова метрика состоит в том, чтобы вызвать метрику на орбите фигур путем определения ее в терминах длины метрики между преобразованиями диффеоморфной системы координат потоков. Измерение длин геодезического потока между системами координат на орбите фигур называется диффеоморфометрия.

Группа диффеоморфизмов, порожденная лагранжевыми и эйлеровыми потоками

Диффеоморфизмы в вычислительная анатомия генерируются для удовлетворения Лагранжева и эйлерова спецификация полей течения, ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$, порожденная обыкновенным дифференциальным уравнением

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}=\operatorname {id} ;}$

(Лагранжев поток)

с векторными полями Эйлера ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ за ${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$. Обратный поток дается выражением${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}=\operatorname {id} ,}$и ${\displaystyle 3\times 3}$ Матрица Якоби для потоков в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ дан как ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Чтобы обеспечить гладкие потоки диффеоморфизмов с обратными, векторные поля ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ должен быть хотя бы один раз непрерывно дифференцируемым в пространстве^[7][8] которые моделируются как элементы гильбертова пространства ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ с использованием Соболев теоремы вложения так, чтобы каждый элемент ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ имеет 3-квадратично интегрируемые производные, таким образом, следует ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ плавно вкладывается в одноразовые непрерывно дифференцируемые функции.^[7][8] Группа диффеоморфизмов - это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева:

${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\doteq \{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}=\operatorname {id} ,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .}$

(Группа диффеоморфизмов)

Модель римановой орбиты

Формы в Вычислительная анатомия (CA) изучаются с помощью диффеоморфного отображения для установления соответствий между анатомическими системами координат. В этой настройке трехмерные медицинские изображения моделируются как диффеморфные преобразования некоторого образца, называемого шаблоном. ${\displaystyle I_{temp}}$, в результате чего наблюдаемые изображения являются элементами случайного орбитальная модель КА. Для изображений они определены как ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$, с для карт, представляющих подмногообразия, обозначенные как ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$.

Риманова метрика

Орбита форм и форм в Computational Anatomy генерируется действием группы ${\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ , ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$. Они превращаются в римановы орбиты путем введения метрики, связанной с каждой точкой и связанным с ней касательным пространством. Для этого определена метрика на группе, которая индуцирует метрику на орбите. В качестве метрики для Вычислительная анатомия на каждом элементе касательного пространства ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ в группе диффеоморфизмов

${\displaystyle \|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\|v\|_{V},}$

с векторными полями, смоделированными как находящиеся в гильбертовом пространстве с нормой в Гильбертово пространство ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$. Мы моделируем ${\displaystyle V}$ как воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространство (RKHS) определяется 1-1, дифференциальным оператором ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$, куда ${\displaystyle V^{*}}$ является двойным пространством. В целом, ${\displaystyle \sigma \doteq Av\in V^{*}}$ является обобщенной функцией или распределением, линейная форма, связанная с внутренним продуктом, и норма для обобщенных функций интерпретируются путем интегрирования по частям в соответствии с для ${\displaystyle v,w\in V}$,

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

Когда ${\displaystyle Av\doteq \mu \,dx}$, векторная плотность, ${\displaystyle \int Av\cdot v\,dx\doteq \int \mu \cdot v\,dx=\sum _{i=1}^{3}\mu _{i}v_{i}\,dx.}$

Дифференциальный оператор подбирается так, чтобы Ядро Грина связанный с обратным, достаточно гладкий, так что векторные поля поддерживают 1-непрерывную производную. В Вложение Соболева Аргументы теоремы были приведены для демонстрации того, что 1-непрерывная производная требуется для гладких потоков. В Зелень оператор, созданный из Функция Грина (скалярный случай), связанный с дифференциальным оператором гладкости.

Для правильного выбора ${\displaystyle A}$ тогда ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ является РХС с оператором ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$. Ядра Грина, связанные с дифференциальным оператором, сглаживаются, поскольку для управления достаточным количеством производных в интегральном квадратическом смысле ядро ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$ непрерывно дифференцируем по обеим переменным, откуда

${\displaystyle KAv(x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)Av_{j}(y)\,dy\in V\ .}$

Диффеоморфометрия пространства форм и форм

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах

Метрика на группе диффеоморфизмов определяется расстоянием, как определено на парах элементов в группе диффеоморфизмов согласно

${\displaystyle d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left(\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt:\phi _{0}=\psi ,\phi _{1}=\varphi ,{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}\right)^{1/2}\ .}$

(метрика-диффеоморфизмы)

Это расстояние обеспечивает правоинвариантную метрику диффеоморфометрии,^[9][10][11] инвариантен к изменению параметров пространства, поскольку для всех ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}$,

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \phi ,\varphi \circ \phi ).}$

Метрика форм и форм

Расстояние на изображениях,^[12] ${\displaystyle d_{\mathcal {I}}:{\mathcal {I}}\times {\mathcal {I}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$,

${\displaystyle d_{\mathcal {I}}(I,J)=\inf _{\phi \in \operatorname {Diff} _{V}:\phi \cdot I=J}d_{\operatorname {Diff} _{V}}(id,\phi )\ ;}$

(метрические формы-формы)

Расстояние по формам и формам,^[13] ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$,

${\displaystyle d_{\mathcal {M}}(M,N)=\inf _{\phi \in \operatorname {Diff} _{V}:\phi \cdot M=N}d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\operatorname {id} ,\phi )\ .}$

(метрические формы-формы)

Метрика геодезических потоков ориентиров, поверхностей и объемов на орбите

Для вычисления метрики геодезические - это динамическая система, поток координат ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ и управление векторным полем ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ связанный через ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\cdot \phi _{t},\phi _{0}=\operatorname {id} .}$ Гамильтонов взгляд^{[14][15][16][17][18]} изменяет параметры распределения импульса ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ с точки зрения Гамильтонов импульс, множитель Лагранжа ${\displaystyle p:{\dot {\phi }}\mapsto (p\mid {\dot {\phi }})}$ ограничение лагранжевой скорости ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}$.соответственно:

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \phi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

В Принцип максимума Понтрягина^[14] дает гамильтониан ${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)\ .}$Оптимизирующее векторное поле ${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)}$ с динамикой ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}={\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial p}},{\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial \phi }}}$. Вдоль геодезической гамильтониан постоянен:^[19]${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})=H(\operatorname {id} ,p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}\,dx}$. Метрическое расстояние между системами координат, связанными через геодезическую, определяемое индуцированным расстоянием между единицей и элементом группы:

${\displaystyle d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\operatorname {id} ,\varphi )=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H(\operatorname {id} ,p_{0})}}}$

Геодезические ориентиры или точки

За ориентиры, ${\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,n}$, гамильтонов импульс

${\displaystyle p(i),i=1,\dots ,n}$

с гамильтоновой динамикой, имеющей вид

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{j}\sum _{i}\displaystyle p_{t}(i)\cdot K(\phi _{t}(x_{i}),\phi _{t}(x_{j}))p_{t}(j)}$

с

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \sum _{i}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x_{i}))p_{t}(i),\ \\{\dot {p}}_{t}(i)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x_{i})}}^{T}p_{t}(i),i=1,2,\dots ,n\\\end{cases}}}$

Метрика между ориентирами ${\displaystyle d^{2}=\textstyle \sum _{i}p_{0}(i)\cdot \sum _{j}\displaystyle K(x_{i},x_{j})p_{0}(j).}$

Динамика, связанная с этими геодезическими, показана на сопровождающем рисунке.

Наземные геодезические

За поверхности, гамильтониан импульс определяется по поверхности имеет гамильтониан

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{U}\int _{U}p_{t}(u)\cdot K(\phi _{t}(m(u)),\phi _{t}(m(v)))p_{t}(v)\,du\,dv}$

и динамика

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{U}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(m(u)))p_{t}(u)\,du\ ,\\{\dot {p}}_{t}(u)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(m(u))}}^{T}p_{t}(u),u\in U\end{cases}}}$

Метрика между координатами поверхности ${\displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{U}p_{0}(u)\cdot \int _{U}K(m(u),m(u^{\prime }))p_{0}(u^{\prime })\,du\,du^{\prime }}$

Объемные геодезические

За тома гамильтониан

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}p_{t}(x)\cdot K(\phi _{t}(x),\phi _{t}(y))p_{t}(y)\,dx\,dy\displaystyle }$

с динамикой

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{X}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x))p_{t}(x)\,dx\ ,\\{\dot {p}}_{t}(x)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x)}}^{T}p_{t}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}\end{cases}}}$

Метрика между объемами ${\displaystyle \displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}p_{0}(x)\cdot \int _{{\mathbb {R} }^{3}}K(x,y)p_{0}(y)\,dy\,dx.}$

Программное обеспечение для диффеоморфного отображения

Программные комплексы содержащие множество алгоритмов диффеоморфного отображения, включают следующее:

• Деформетрика^[20]
• Муравьи^[21]
• ДАРТЕЛ^[22] Морфометрия на основе вокселей (VBM)
• ДЕМОНОВ^[23]
• LDDMM^[24]
• СтационарныйLDDMM^[25]

Облачное программное обеспечение

• MRICloud^[26]

Рекомендации

1. Miller, M. I .; Юнес, Л. (01.01.2001). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общие рамки». Международный журнал компьютерного зрения. 41 (1–2): 61–84. Дои:10.1023 / А: 1011161132514. ISSN  0920-5691.
2. Юнес, Л. (1998-04-01). «Вычислимые упругие расстояния между формами». Журнал SIAM по прикладной математике. 58 (2): 565–586. CiteSeerX  10.1.1.45.503. Дои:10.1137 / S0036139995287685.
3. Мио, Вашингтон; Шривастава, Анудж; Джоши, Шантану (25 сентября 2006 г.). «О форме плоских упругих кривых». Международный журнал компьютерного зрения. 73 (3): 307–324. CiteSeerX  10.1.1.138.2219. Дои:10.1007 / s11263-006-9968-0.
4. Michor, Питер В .; Мамфорд, Дэвид; Шах, Джаянт; Юнес, Лоран (2008). «Метрика на пространстве форм с явной геодезией». Ренд. Lincei Mat. Appl. (). 9 (2008): 25–57. arXiv:0706.4299. Bibcode:2007arXiv0706.4299M.
5. Michor, Питер В .; Мамфорд, Дэвид (2007). «Обзор римановых метрик на пространствах кривых с использованием гамильтонова подхода». Прикладной и вычислительный гармонический анализ. 23 (1): 74–113. arXiv:математика / 0605009. Дои:10.1016 / j.acha.2006.07.004.
6. Куртек, Себастьян; Классен, Эрик; Гор, Джон С .; Дин, Чжаохуа; Шривастава, Анудж (01.09.2012). «Упругие геодезические пути в пространстве форм параметризованных поверхностей». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 34 (9): 1717–1730. Дои:10.1109 / TPAMI.2011.233. PMID  22144521.
7. П. Дюпюи, У. Гренандер, М.И. Миллер, Существование решений на потоках диффеоморфизмов, Quarterly of Applied Math, 1997.
8. А. Труве. Действие группы бесконечного измерения и разведки в формах. C R Acad Sci Paris Sér I Math, 321 (8): 1031–1034, 1995.
9. Miller, M. I .; Юнес, Л. (01.01.2001). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общие рамки». Международный журнал компьютерного зрения. 41: 61–84. CiteSeerX  10.1.1.37.4816. Дои:10.1023 / А: 1011161132514.
10. Миллер, М. I; Юнес, L; Труве, А (2014). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека». Технологии. 2 (1): 36. Дои:10.1142 / S2339547814500010. ЧВК  4041578. PMID  24904924.
11. Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.01.2015). "Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет после Д'Арси Томпсона". Ежегодный обзор биомедицинской инженерии. 17 (1): 447–509. Дои:10.1146 / annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
12. Miller, M. I .; Юнес, Л. (01.01.2001). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общие рамки». Международный журнал компьютерного зрения. 41: 61–84. CiteSeerX  10.1.1.37.4816. Дои:10.1023 / А: 1011161132514.
13. Миллер, Майкл I .; Юнес, Лоран; Труве, Ален (март 2014 г.). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека». Технологии. 2 (1): 36. Дои:10.1142 / S2339547814500010. ISSN  2339-5478. ЧВК  4041578. PMID  24904924.
14. Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.01.2015). "Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет после Д'арси Томпсона". Ежегодный обзор биомедицинской инженерии. 17 (1): ноль. Дои:10.1146 / annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
15. Глаунес Дж, Труве А, Юнес Л. 2006. Моделирование изменения плоской формы с помощью гамильтоновых потоков кривых // Статистика и анализ форм / Под ред. H Krim, A Yezzi Jr, стр. 335–61. Модель. Simul. Sci. Англ. Technol.Boston: Birkhauser
16. Arguillère S, Trélat E, Trouvé A, Younes L. 2014. Анализ деформации формы с точки зрения оптимального управления. arXiv:1401.0661 [math.OC]
17. Миллер, Мичиган; Юнес, L; Труве, А (2014). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека». Технологии (Singap World Sci). 2: 36. Дои:10.1142 / S2339547814500010. ЧВК  4041578. PMID  24904924.
18. Michor, Питер В .; Мамфорд, Дэвид (2007-07-01). «Обзор римановых метрик на пространствах кривых с использованием гамильтонова подхода». Прикладной и вычислительный гармонический анализ. Специальный выпуск по математической визуализации. 23 (1): 74–113. arXiv:математика / 0605009. Дои:10.1016 / j.acha.2006.07.004.
19. Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.01.2015). "Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет после Д'Арси Томпсона". Ежегодный обзор биомедицинской инженерии. 17 (1): 447–509. Дои:10.1146 / annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
20. «Программное обеспечение - Стэнли Дуррлеман».
21. Avants, Brian B .; Тастисон, Николас Дж .; Песня, Банда; Кук, Филип А .; Кляйн, Арно; Джи, Джеймс С. (01.02.2011). «Воспроизводимая оценка эффективности метрики сходства ANT при регистрации изображений мозга». NeuroImage. 54 (3): 2033–2044. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2010.09.025. ISSN  1053-8119. ЧВК  3065962. PMID  20851191.
22. Эшбёрнер, Джон (2007-10-15). «Быстрый алгоритм регистрации диффеоморфных изображений». NeuroImage. 38 (1): 95–113. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2007.07.007. PMID  17761438.
23. «Программное обеспечение - Том Веркаутерен». sites.google.com. Получено 2015-12-11.
24. Бег, М. Фейсал; Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.02.2005). "Вычисление метрических отображений большой деформации с помощью геодезических потоков диффеоморфизмов". Международный журнал компьютерного зрения. 61 (2): 139–157. Дои:10.1023 / B: VISI.0000043755.93987.aa. ISSN  0920-5691.
25. «Сравнение алгоритмов для диффеоморфной регистрации: стационарный LDDMM и диффеоморфные демоны (доступна загрузка PDF)». ResearchGate. Получено 2017-12-02.
26. «MRICloud». Университет Джона Хопкинса. Получено 1 января 2015.