Определитель Дьедонне - Dieudonné determinant

В линейная алгебра, то Определитель Дьедонне является обобщением определитель матрицы к матрицам над делительные кольца и местные кольца. Он был представлен Дьедонне  (1943 ).

Если K является телом, то определитель Дьедонне гомоморфизм групп из группы GL_п(K) обратимых п к п матрицы над K на абелианизация K^×/[K^×, K^×] мультипликативной группы K^× из K.

Например, определитель Дьедонне для матрицы 2 на 2 равен

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{*{20}c}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{*{20}c}-cb&{\text{if }}a=0\\ad-aca^{-1}b&{\text{if }}a\neq 0\end{array}}\right..}$

Характеристики

Позволять р быть местным кольцом. Существует детерминантное отображение из кольца матриц GL (р) к абелианизированной единичной группе р^×_ab со следующими свойствами:^[1]

• Определитель инвариантен относительно элементарные операции со строками
• Определитель тождества равен 1
• Если в строке осталось умножить на а в р^× то определитель умножается слева на а
• Определитель мультипликативен: det (AB) = det (А) det (B)
• Если две строки меняются местами, определитель умножается на -1.
• Если R коммутативно, то определитель инвариантен относительно транспонирования

Проблема Таннаки – Артина

Предположить, что K конечна над своим центром F. В пониженная норма дает гомоморфизм N_п из GL_п(K) к F^×. У нас также есть гомоморфизм из GL_п(K) к F^× полученный составлением определителя Дьедонне из GL_п(K) к K^×/[K^×, K^×] с приведенной нормой N₁ из GL₁(K) = K^× к F^× через абелианизацию.

В Проблема Таннаки – Артина имеет ли эти две карты одно и то же ядро ​​SL_п(K). Это правда, когда F локально компактна^[2] но в целом ложь.^[3]

Смотрите также

• Определитель Мура над алгеброй с делением

Рекомендации

1. Розенберг (1994) с.64
2. Накаяма, Тадаси; Мацусима, Ёдзо (1943). "Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra". Proc. Imp. Акад. Токио (на немецком). 19: 622–628. Дои:10.3792 / pia / 1195573246. Zbl  0060.07901.
3. Платонов, В. (1976). «Проблема Таннака-Артина и приведенная K-теория». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (на русском). 40: 227–261. Zbl  0338.16005.

• Дьедонне, Жан (1943), «Детерминанты сюр некоммутативного корпуса», Bulletin de la Société Mathématique de France, 71: 27–45, Дои:10.24033 / bsmf.1345, ISSN  0037-9484, МИСТЕР  0012273, Zbl  0028.33904
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94248-3, МИСТЕР  1282290, Zbl  0801.19001. Опечатки
• Серр, Жан-Пьер (2003), Деревья, Springer, стр. 74, ISBN  3-540-44237-5, Zbl  1013.20001
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], "Детерминант", Энциклопедия математики, EMS Press