Дериватор - Derivator

В математика, производные предлагаемые новые рамки^{[1][2]стр.190-195} за гомологическая алгебра дающий основу для неабелевой гомологической алгебры и различных ее обобщений. Они были введены для устранения недостатков производные категории (например, нефункториальность конструкции конуса) и в то же время предоставляют язык для гомотопическая алгебра.

Дериваторы были впервые представлены Александр Гротендик в его длинной неопубликованной рукописи 1983 г. Погоня за стеками. Затем они были развиты им в огромной неопубликованной рукописи 1991 года. Les Dérivateurs почти 2000 страниц.

Рукопись была отредактирована для онлайн-публикации Жоржем Мальциниотисом. Теория получила дальнейшее развитие несколькими другими людьми, включая Хеллера, Franke, Келлер и Грот.

Мотивации

Одной из мотивирующих причин для рассмотрения производных является отсутствие функториальности конструкции конуса с триангулированные категории. Дериваторы могут решить эту проблему и решить проблему включения общих гомотопические копределы, отслеживая все возможные диаграммы в категории с слабые эквиваленты и их отношения друг с другом. Эвристически, учитывая диаграмму

${\displaystyle \bullet \to \bullet }$

который представляет собой категорию с двумя объектами, одной стрелкой, не являющейся тождественной, и функтором

${\displaystyle F:(\bullet \to \bullet )\to A}$

в категорию ${\displaystyle A}$ с классом слабых эквивалентностей ${\displaystyle W}$, и удовлетворяющий правильным гипотезам, должен иметь связанный функтор

${\displaystyle C(F):\bullet \to A[W^{-1}]}$

где целевой объект уникален с точностью до слабой эквивалентности в ${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$. Производные могут кодировать такую ​​информацию и предоставлять исчисление диаграмм для использования в производные категории и теория гомотопии.

Определение

Предериваторы

Формально предшественник ${\displaystyle \mathbb {D} }$ является 2-функтором

${\displaystyle \mathbb {D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}}$

из подходящей 2-й категории индексы в категорию категорий. Обычно такие 2-функторы возникают при рассмотрении категорий ${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$ куда ${\displaystyle A}$ называется категория коэффициентов. Например, ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ может быть категорией фильтруемых небольших категорий, объекты которых можно рассматривать как наборы индексации для фильтрованный копредел. Тогда, учитывая морфизм диаграмм

${\displaystyle f:I\to J}$

обозначать ${\displaystyle f^{*}}$ к

${\displaystyle f^{*}:\mathbb {D} (J)\to \mathbb {D} (I)}$

Это называется обратное изображение функтор. В мотивирующем примере это просто предварительная композиция, поэтому с учетом функтора ${\displaystyle F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$ есть связанный функтор ${\displaystyle F_{J}=F_{I}\circ f}$. Обратите внимание, что эти 2-функторы можно считать

${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])}$

куда ${\displaystyle W}$ - подходящий класс слабых эквивалентностей в категории ${\displaystyle A}$.

Категории индексации

Есть несколько примеров категорий индексации, используемых в этой конструкции.

• 2 категории ${\displaystyle {\text{FinCat}}}$ конечных категорий, поэтому объекты являются категориями, совокупность объектов которых является конечным множеством.
• Порядковая категория ${\displaystyle \Delta }$ можно разделить на две категории, где объекты представляют собой категории с одним объектом, а функторы образуют стрелки в порядковой категории.
• Другой вариант - просто использовать категорию небольших категорий.
• Кроме того, связанный с любым топологическим пространством ${\displaystyle X}$ это категория ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ который можно использовать в качестве категории индексации.
• Это можно обобщить на любые топосы. ${\displaystyle T}$, поэтому категория индексации - это базовый сайт.

Дериваторы

Тогда производные являются аксиоматизацией предшественников, которые снабжены присоединенными функторами

${\displaystyle {\begin{matrix}f^{?}&f_{!}&f^{*}&f_{*}&f^{!}\end{matrix}}}$

куда ${\displaystyle f_{!}}$ слева примыкает к ${\displaystyle f^{*}}$ и так далее. Эвристически, ${\displaystyle f_{*}}$ должны соответствовать обратным пределам, ${\displaystyle f_{!}}$ до копределов.

Рекомендации

• Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Издание М. Кюнцера, Дж. Мальгуара, Г. Мальциниотиса
• Производные, точечные производные и стабильные производные (Мориц Грот)

внешняя ссылка

• производная в nLab
• Подтопы, открытые подтопы и закрытые подтопы
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html

1. Гротендик. "Les Dérivateurs".
2. Гротендик. "Погоня за стеками". thescrivener.github.io. В архиве (PDF) из оригинала на 30 июл 2020. Получено 2020-09-17.