Теория де Дондера – Вейля - De Donder–Weyl theory

В математическая физика, то Теория де Дондера – Вейля является обобщением Гамильтонов формализм в вариационное исчисление и классическая теория поля над пространство-время который рассматривает пространственные и временные координаты на равных основаниях. В этом контексте Гамильтонов формализм в механика обобщается на теорию поля таким образом, что поле представлен как система, изменяющаяся как в пространстве, так и во времени. Это обобщение отличается от канонический Гамильтонов формализм в теории поля, которая рассматривает пространственные и временные переменные по-разному и описывает классические поля как бесконечномерные системы, развивающиеся во времени.

Уравнения Де Дондера – Вейля:

${\displaystyle \partial p_{a}^{i}/\partial x^{i}=-\partial H/\partial y^{a}}$

${\displaystyle \partial y^{a}/\partial x^{i}=\partial H/\partial p_{a}^{i}}$

Формулировка теории поля де Дондера – Вейля

Теория Де Дондера – Вейля основана на замене переменных, известной как Превращение Лежандра. Позволять Икс^я быть пространство-время координаты, для я = От 1 до п (с п = 4, представляющие 3 + 1 измерения пространства и времени), и у^а переменные поля, для а = От 1 до м, и L то Плотность лагранжиана

${\displaystyle L=L(y^{a},\partial _{i}y^{a},x^{i})}$

С polymomenta п^я_а определяется как

${\displaystyle p_{a}^{i}=\partial L/\partial (\partial _{i}y^{a})}$

и Гамильтонова функция де Дондера – Вейля ЧАС определяется как

${\displaystyle H=p_{a}^{i}\partial _{i}y^{a}-L}$

то Уравнения Де Дондера – Вейля находятся:^[1]

${\displaystyle \partial p_{a}^{i}/\partial x^{i}=-\partial H/\partial y^{a}\,,\,\partial y^{a}/\partial x^{i}=\partial H/\partial p_{a}^{i}}$

Эта гамильтонова форма де Дондера-Вейля уравнений поля имеет вид ковариантный и это эквивалентно Уравнения Эйлера-Лагранжа когда преобразование Лежандра к переменным п^я_а и ЧАС не единичный. Теория - это формулировка ковариантная гамильтонова теория поля который отличается от канонический Гамильтонов формализм и для п = 1 сводится к Гамильтонова механика (смотрите также принцип действия в вариационном исчислении ).

Герман Вейль в 1935 г. разработал Теория Гамильтона-Якоби для теории Де Дондера – Вейля.^[2]

Аналогично Гамильтонов формализм в механике сформулированы с использованием симплектическая геометрия из фазовое пространство Теорию Де Дондера-Вейля можно сформулировать с помощью мультисимплектическая геометрия или же полисимплектическая геометрия и геометрия жгуты.

Обобщение Скобки Пуассона теории Де Дондера – Вейля и представлению уравнений Де Дондера – Вейля в терминах обобщенных Скобки Пуассона удовлетворение Алгебра Герстенхабера был обнаружен Канатчиковым в 1993 году.^[3]

История

Формализм, теперь известный как теория Де Дондера – Вейля (DW), был разработан Теофиль де Дондер^[4][5] и Герман Вейль. Герман Вейль сделал свое предложение в 1934 году, вдохновленный работами Константин Каратеодори, который, в свою очередь, был основан на работе Вито Вольтерра. С другой стороны, работа Де Дондера началась с теории интеграла. инварианты из Эли Картан.^[6] Теория Де Дондера – Вейля была частью вариационного исчисления с 1930-х годов и первоначально нашла очень мало приложений в физике. Недавно он был применен в теоретической физике в контексте квантовая теория поля^[7] и квантовая гравитация.^[8]

В 1970 году Енджей Снятицкий, автор книги Геометрическое квантование и квантовая механика, разработал инвариантную геометрическую формулировку жгуты, опираясь на работы Де Дондера и Вейля.^[9] В 1999 году Игорь Канатчиков показал, что ковариантные гамильтоновы полевые уравнения Де Дондера – Вейля могут быть сформулированы в терминах Матрицы Даффина – Кеммера – Петио.^[10]

Смотрите также

• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

дальнейшее чтение

• Избранные статьи по ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ, Перевод и редакция Д. Х. Дельфенича. Часть 1 [2], Часть 2 [3]
• Х.А. Каструп, Канонические теории лагранжевых динамических систем в физике, Physics Reports, Volume 101, Issues 1–2, Pages 1-167 (1983).
• Марк Дж. Готей, Джеймс Айзенберг, Джерролд Э. Марсден, Ричард Монтгомери: «Карты моментума и классические релятивистские поля. Часть I: Ковариантная теория поля» arXiv:физика / 9801019
• Корнелиус Пауфлер, Хартманн Ремер: Уравнения де Дондера – Вейля и мультисимплектическая геометрия., Доклады по математической физике, т. 49 (2002), нет. 2–3, с. 325–334
• Кшиштоф Маурин: Наследие Римана: римановы идеи в математике и физике, Часть II, Глава 7.16 Теории поля для вариационного исчисления для кратных интегралов, Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-4636-X, 1997, п. 482 сл.

Рекомендации

1. Ханно Рунд, "Теория Гамильтона-Якоби в вариационном исчислении: ее роль в математике и физике", Ван Ностранд, Рейнхольд, 1966.
2. Герман Вейль, "Геодезические поля в вариационном исчислении для кратных интегралов", Ann. Математика. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645
3. Канатчиков Игорь Васильевич: О канонической структуре ковариантной гамильтоновой формулировки де Дондера – Вейля теории поля I. Градуированные скобки Пуассона и уравнения движения, arXiv: hep-th / 9312162v1 (отправлено 20 декабря 1993 г.).
4. Теофиль де Дондер, "Теория инвариантных вычислений вариаций", Готье-Виллар, 1930. [1]
5. Фредерик Элен: Гамильтоновы формализмы многомерного вариационного исчисления и теории возмущений В Хайме Брезисе, Феликсе Э. Браудере, Аббасе Бахри, Серджиу Клайнермане, Майкле Фогелиусе (рекламные объявления): Некомпактные задачи на стыке геометрии, анализа и топологии, Американское математическое общество, 2004 г., стр. 127–148, п. 131, ISBN  0-8218-3635-8,
6. Роджер Белявски, Кевин Хьюстон, Мартин Спейт: Вариационные задачи дифференциальной геометрии., Серия конспектов лекций Лондонского математического общества, вып. 394, Университет Лидса, 2009 г. ISBN  978-0-521-28274-1, п. 104 ф.
7. Канатчиков Игорь Васильевич: Теория Де Дондера – Вейля и гиперкомплексное расширение квантовой механики на теорию поля, arXiv: hep-th / 9810165v1 (отправлено 21 октября 1998 г.)
8. И.В. Канатчиков: Доканоническая квантовая гравитация: квантование без пространственно-временного разложения, arXiv: gr-qc / 0012074 (представлено 20 декабря 2000 г.)
9. Jedrzej niatycki, 1970. Цитируется по: Иветт Косманн-Шварцбах: Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в ХХ веке, Springer, 2011, ISBN  978-0-387-87867-6, п. 111
10. Канатчиков Игорь Васильевич: О формулировке Даффина – Кеммера – Петио ковариантной гамильтоновой динамики в теории поля, arXiv: hep-th / 9911 / 9911175v1 (представлено 23 ноября 1999 г.)