Кросс Грамиан - Cross Gramian

В теория управления, то крест Грамиана (${\displaystyle W_{X}}$, также упоминается ${\displaystyle W_{CO}}$) это Грамиан матрица, используемая для определения того, как управляемый и наблюдаемый линейная система.^[1][2]

Для конюшни неизменный во времени линейная система

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu\,}$

${\displaystyle y=Cx\,}$

крест грамиан определяется как:

${\displaystyle W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,}$

и, следовательно, также задается решением Уравнение Сильвестра:

${\displaystyle AW_{X}+W_{X}A=-BC\,}$

Тройка ${\displaystyle (A,B,C)}$ является управляемый и наблюдаемый тогда и только тогда, когда матрица ${\displaystyle W_{X}}$ является неособый, (т.е. ${\displaystyle W_{X}}$ имеет полное звание, для любого ${\displaystyle t>0}$).

Если связанная система ${\displaystyle (A,B,C)}$ более того, симметричен, так что существует преобразование ${\displaystyle J}$ с участием

${\displaystyle AJ=JA^{T}\,}$

${\displaystyle B=JC^{T}\,}$

затем абсолютная величина из собственные значения крест грамиан равен Особые значения Ганкеля:^[3]

${\displaystyle |\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,}$

Таким образом, прямое усечение разложение по сингулярным числам креста Грамиана позволяет сокращение заказа модели (увидеть [1] ) без процедуры балансировки в отличие от сбалансированное усечение.

Смотрите также

• Грамиан управляемости
• Грамиан наблюдаемости
• Матрица грамиана

использованная литература

1. Фортуна, Луиджи; Фраска, Маттиа (2012). Оптимальное и надежное управление: расширенные темы с MATLAB. CRC Press. С. 83–. ISBN  9781466501911. Получено 29 апреля 2013.
2. Антулас, Афанасиос К. (2005). Аппроксимация крупномасштабных динамических систем.. СИАМ. Дои:10.1137/1.9780898718713. ISBN  9780898715293.
3. Fernando, K .; Николсон, Х. (февраль 1983 г.). «О структуре сбалансированных и других принципиальных представлений систем SISO». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 28 (2): 228–231. Дои:10.1109 / tac.1983.1103195. ISSN  0018-9286.