Теорема Кокса - Coxs theorem

Теорема Кокса, названный в честь физика Ричард Трелкельд Кокс, является выводом законов теория вероятности из определенного набора постулаты. Этот вывод оправдывает так называемую «логическую» интерпретацию вероятности, поскольку законы вероятности, полученные с помощью теоремы Кокса, применимы к любому утверждению. Логическая (также известная как объективный байесовский) вероятность - это тип Байесовская вероятность. Другие формы байесовства, такие как субъективная интерпретация, получают другие обоснования.

Предположения Кокса

Кокс хотел, чтобы его система удовлетворяла следующим условиям:

  1. Делимость и сопоставимость - правдоподобие предложение является действительным числом и зависит от информации, имеющейся у нас в отношении предложения.
  2. Здравый смысл - правдоподобия должны разумно варьироваться в зависимости от оценки правдоподобия в модели.
  3. Последовательность - если правдоподобность предложения может быть получена разными способами, все результаты должны быть одинаковыми.

Постулаты, изложенные здесь, взяты из Арнборга и Шёдина.[1][2][3]"Здравый смысл "включает в себя соответствие аристотелевской логика в том смысле, что логически эквивалентные предложения должны иметь одинаковую правдоподобность.

Постулаты, первоначально сформулированные Коксом, не были математически строгими (хотя и лучше, чем неформальное описание выше), например, как отмечал Халперн.[4][5] Однако представляется возможным дополнить их различными математическими предположениями, сделанными Коксом явно или неявно, чтобы получить достоверное доказательство.

Обозначение Кокса:

Правдоподобность предложения учитывая некоторую связанную информацию обозначается .

Постулаты и функциональные уравнения Кокса:

  • Правдоподобность соединение двух предложений , , учитывая некоторую связанную информацию , определяется правдоподобием данный и что из данный .
В виде функциональное уравнение
Из-за ассоциативного характера конъюнкции в логике высказываний согласованность с логикой дает функциональное уравнение, говорящее, что функция является ассоциативный бинарная операция.
  • Кроме того, Кокс постулирует функцию быть монотонный.
Все строго возрастающие ассоциативные бинарные операции над действительными числами изоморфны умножению чисел в подынтервал из [0, +∞], что означает наличие монотонной функции сопоставление вероятностей с [0, +∞] такой, что
  • В случае данный уверен, у нас есть и из-за требования последовательности. Тогда общее уравнение приводит к
Это верно для любого предложения , что приводит к
  • В случае данный невозможно, у нас есть и из-за требования последовательности. Тогда общее уравнение приводит к
Это верно для любого предложения , что без ограничения общности приводит к решению
Из-за требования монотонности это означает, что отображает вероятности на интервал [0, 1].
  • Правдоподобность предложения определяет правдоподобность предложения. отрицание.
Это постулирует существование функции такой, что
Поскольку «двойное отрицание - утвердительное», согласованность с логикой дает функциональное уравнение
говоря, что функция является инволюция, т. е. это собственное обратное.
  • Кроме того, Кокс постулирует функцию быть монотонным.
Из приведенных выше функциональных уравнений и логики следует, что
С логически эквивалентен , мы также получаем
Если, в частности, , то также и и мы получаем
и
Сокращение и получаем функциональное уравнение

Последствия постулатов Кокса

Законы вероятности, вытекающие из этих постулатов, следующие.[6] Позволять быть правдоподобием предложения данный удовлетворяющие постулатам Кокса. Тогда есть функция отображение вероятностей на интервал [0,1] и положительное число такой, что

  1. Уверенность представлена

Важно отметить, что постулаты подразумевают только эти общие свойства. Мы можем восстановить обычные законы вероятности, задав новую функцию, условно обозначаемую или же , равно . Тогда мы получаем законы вероятности в более привычной форме:

  1. Определенная правда представлена , и определенная ложь

Правило 2 - это правило отрицания, а правило 3 - правило соединения. Учитывая, что любое предложение, содержащее конъюнкцию, дизъюнкция, а отрицание может быть эквивалентно перефразировано, используя только соединение и отрицание ( конъюнктивная нормальная форма ), теперь мы можем обрабатывать любое сложное предложение.

Полученные таким образом законы дают конечная аддитивность вероятности, но не счетная аддитивность. В Теоретико-мерная формулировка Колмогорова предполагает, что мера вероятности счетно аддитивна. Это чуть более сильное условие необходимо для доказательства некоторых теорем.[нужна цитата ]

Интерпретация и дальнейшее обсуждение

Теорема Кокса стала использоваться как одна из оправдания для использования Байесовская теория вероятностей. Например, у Джейнса[6] он подробно обсуждается в главах 1 и 2 и является краеугольным камнем остальной части книги. Вероятность интерпретируется как формальная система излогика, естественное продолжение Аристотелевская логика (в котором каждое утверждение либо истинно, либо ложно) в область рассуждений в присутствии неопределенности.

Обсуждается, в какой степени теорема исключает альтернативные модели для рассуждений о неуверенность. Например, если были отброшены некоторые «неинтуитивные» математические предположения, можно было бы разработать альтернативы, например, пример, предоставленный Халперном.[4] Однако Арнборг и Шёдин[1][2][3] предложить дополнительные постулаты «здравого смысла», которые позволили бы в некоторых случаях смягчить допущения, при этом исключая пример Халперна. Другие подходы были разработаны Харди[7] или Дюпре и Типлер.[8]

Оригинальная формулировка теоремы Кокса находится в Кокс (1946) который расширен дополнительными результатами и более подробным обсуждением в Кокс (1961). Джейнс[6] цитирует Авеля[9] за первое известное использование функционального уравнения ассоциативности. Aczél[10] предоставляет длинное доказательство «уравнения ассоциативности» (страницы 256-267). Джейнс[6]:27 воспроизводит более короткое доказательство Кокса, в котором предполагается дифференцируемость. Справочник Ван Хорна по теореме Кокса призван всесторонне познакомить читателя со всеми этими ссылками.[11]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Стефан Арнборг и Гуннар Шёдин, Об основах байесианства, Препринт: Нада, КТН (1999) - ftp://ftp.nada.kth.se/pub/documents/Theory/Stefan-Arnborg/06arnborg.psftp://ftp.nada.kth.se/pub/documents/Theory/Stefan-Arnborg/06arnborg.pdf
  2. ^ а б Стефан Арнборг и Гуннар Шёдин, Заметка об основах байесианства, Препринт: Нада, КТН (2000а) - ftp://ftp.nada.kth.se/pub/documents/Theory/Stefan-Arnborg/fobshle.psftp://ftp.nada.kth.se/pub/documents/Theory/Stefan-Arnborg/fobshle.pdf
  3. ^ а б Стефан Арнборг и Гуннар Шёдин, «Правила Байеса в конечных моделях», в Европейская конференция по искусственному интеллекту, Берлин, (2000b) - ftp://ftp.nada.kth.se/pub/documents/Theory/Stefan-Arnborg/fobc1.psftp://ftp.nada.kth.se/pub/documents/Theory/Stefan-Arnborg/fobc1.pdf
  4. ^ а б Джозеф Ю. Халперн, «Контрпример к теоремам Кокса и Файна», Журнал исследований ИИ, 10, 67–85 (1999) — http://www.jair.org/media/536/live-536-2054-jair.ps.Z В архиве 2015-11-25 на Wayback Machine
  5. ^ Джозеф Ю. Халперн, "Техническое приложение, повторение теоремы Кокса", Журнал исследований ИИ, 11, 429–435 (1999) — http://www.jair.org/media/644/live-644-1840-jair.ps.Z В архиве 2015-11-25 на Wayback Machine
  6. ^ а б c d Эдвин Томпсон Джейнс, Теория вероятностей: логика науки, Издательство Кембриджского университета (2003). - препринт (1996 г.) в «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2016-01-19. Получено 2016-01-19.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь); Главы с 1 по 3 опубликованной версии на http://bayes.wustl.edu/etj/prob/book.pdf
  7. ^ Майкл Харди, "Масштабированные булевы алгебры", Успехи в прикладной математике, Август 2002 г., страницы 243–292 (или препринт ); Харди сказал: «Я утверждаю, что считаю предположения Кокса слишком сильными, хотя я не говорю, почему. Я говорю, чем бы я их заменил». (Цитата взята со страницы обсуждения Википедии, а не из статьи.)
  8. ^ Дюпре, Морис Дж. И Типлер, Фрэнк Дж. (2009). «Новые аксиомы строгой байесовской вероятности», Байесовский анализ, 4(3): 599-606.
  9. ^ Нильс Хенрик Абель "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Gröszen Икс унд у, wie ж(Икс, у), welche die Eigenschaft haben, dasz ж[z, ж(Икс,у)] eine symrische Function von z, Икс унд у ист. ", Jour. Reine u. Angew. Математика. (Crelle's Jour.), 1, 11–15, (1826).
  10. ^ Янош Акзель, Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям, Academic Press, Нью-Йорк, (1966).
  11. ^ Ван Хорн, К. С. (2003). «Построение логики правдоподобного вывода: руководство к теореме Кокса». Международный журнал приблизительных рассуждений. 34: 3–24. Дои:10.1016 / S0888-613X (03) 00051-3.
  • Кокс, Р. Т. (1946). «Вероятность, частота и разумные ожидания». Американский журнал физики. 14: 1–10. Дои:10.1119/1.1990764.
  • Кокс, Р. Т. (1961). Алгебра вероятного вывода. Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса.
  • Терренс Л. Файн, Теории вероятностей; Экспертиза фундаментов, Академик Пресс, Нью-Йорк, (1973).