Функция Control-Ляпунова - Control-Lyapunov function

В теория управления, а функция управления-Ляпунова^[1] это Функция Ляпунова ${displaystyle V(x)}$ для системы с управляющими входами. Обычная функция Ляпунова используется для проверки того, динамическая система является стабильный (более строго, асимптотически устойчивый). То есть, запускается ли система в состоянии ${displaystyle xeq 0}$ в какой-то области D останется в D, или для асимптотическая устойчивость в конечном итоге вернется к ${displaystyle x=0}$. Функция контроля-Ляпунова используется для проверки того, является ли система стабилизируемая обратная связь, то есть для любого состояния Икс существует контроль ${displaystyle u(x,t)}$ такое, что система может быть переведена в нулевое состояние, применяя управление ты.

Более формально, предположим, что нам дана автономная динамическая система

${displaystyle {dot {x}}=f(x,u)}$

куда ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$ - вектор состояния и ${displaystyle uin mathbb {R} ^{m}}$ вектор управления, и мы хотим, чтобы обратная связь стабилизировала его до ${displaystyle x=0}$ в какой-то области ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{n}}$.

Определение. Функция управления-Ляпунова - это функция ${displaystyle V:Dightarrow mathbb {R} }$ которая непрерывно дифференцируема, положительно определена (т. е. ${displaystyle V(x)}$ положительный, за исключением ${displaystyle x=0}$ где он равен нулю), и такой, что

${displaystyle forall xeq 0,exists uqquad {dot {V}}(x,u)=abla V(x)cdot f(x,u)<0.}$

Последнее условие - ключевое условие; на словах говорится, что для каждого штата Икс мы можем найти контроль ты что уменьшит "энергию" V. Интуитивно понятно, что если в каждом состоянии мы всегда можем найти способ уменьшить энергию, в конечном итоге мы сможем свести энергию к нулю, то есть остановить систему. Это подтверждается следующим результатом:

Теорема Арстейна. Динамическая система обладает дифференцируемой функцией управления-Ляпунова тогда и только тогда, когда существует регулярная стабилизирующая обратная связь ты(Икс).

Может быть нелегко найти функцию управления-Ляпунова для данной системы, но если мы сможем ее найти благодаря некоторой изобретательности и удаче, тогда задача стабилизации обратной связи значительно упрощается, фактически она сводится к решению статической нелинейной проблема программирования

${displaystyle u^{*}(x)={underset {u}{operatorname {arg,min} }}abla V(x)cdot f(x,u)}$

для каждого государства Икс.

Теория и применение функций управления-Ляпунова были разработаны З. Арстейном и Э. Д. Зонтаг в 1980-х и 1990-х годах.

Пример

Вот характерный пример применения функции-кандидата Ляпунова к задаче управления.

Рассмотрим нелинейную систему, которая представляет собой систему масса-пружина-демпфер с упрочнением пружины и зависимой от положения массой, описываемой формулой

${displaystyle m(1+q^{2}){ddot {q}}+b{dot {q}}+K_{0}q+K_{1}q^{3}=u}$

Теперь, учитывая желаемое состояние, ${displaystyle q_{d}}$, и фактическое состояние, ${displaystyle q}$, с ошибкой, ${displaystyle e=q_{d}-q}$, определите функцию ${displaystyle r}$ в качестве

${displaystyle r={dot {e}}+alpha e}$

Кандидат Контр-Ляпунов тогда

${displaystyle V={frac {1}{2}}r^{2}}$

что положительно определено для всех ${displaystyle qeq 0}$, ${displaystyle {dot {q}}eq 0}$.

Теперь возьмем производную по времени от ${displaystyle V}$

${displaystyle {dot {V}}=r{dot {r}}}$

${displaystyle {dot {V}}=({dot {e}}+alpha e)({ddot {e}}+alpha {dot {e}})}$

Цель состоит в том, чтобы получить производную по времени

${displaystyle {dot {V}}=-kappa V}$

который глобально экспоненциально устойчив, если ${displaystyle V}$ является глобально положительно определенным (что и есть).

Следовательно, нам нужна самая правая скобка ${displaystyle {dot {V}}}$,

${displaystyle ({ddot {e}}+alpha {dot {e}})=({ddot {q}}_{d}-{ddot {q}}+alpha {dot {e}})}$

выполнить требование

${displaystyle ({ddot {q}}_{d}-{ddot {q}}+alpha {dot {e}})=-{frac {kappa }{2}}({dot {e}}+alpha e)}$

которые при подстановке динамики, ${displaystyle {ddot {q}}}$, дает

${displaystyle left({ddot {q}}_{d}-{frac {u-K_{0}q-K_{1}q^{3}-b{dot {q}}}{m(1+q^{2})}}+alpha {dot {e}}ight)=-{frac {kappa }{2}}({dot {e}}+alpha e)}$

Решение для ${displaystyle u}$ дает закон управления

${displaystyle u=m(1+q^{2})left({ddot {q}}_{d}+alpha {dot {e}}+{frac {kappa }{2}}right)+K_{0}q+K_{1}q^{3}+b{dot {q}}}$

с ${displaystyle kappa }$ и ${displaystyle alpha }$, оба больше нуля, как настраиваемые параметры

Этот закон управления гарантирует глобальную экспоненциальную стабильность, поскольку при подстановке в производную по времени, как и ожидалось, дает

${displaystyle {dot {V}}=-kappa V}$

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, имеющим решение

${displaystyle V=V(0)exp(-kappa t)}$

Отсюда и ошибки, и частота ошибок, помня, что ${displaystyle V={frac {1}{2}}({dot {e}}+alpha e)^{2}}$, экспоненциально затухают до нуля.

Если вы хотите настроить конкретный ответ из этого, необходимо снова подставить его в решение, которое мы получили для ${displaystyle V}$ и решить для ${displaystyle e}$. Это оставлено как упражнение для читателя, но первые несколько шагов к решению:

${displaystyle r{dot {r}}=-{frac {kappa }{2}}r^{2}}$

${displaystyle {dot {r}}=-{frac {kappa }{2}}r}$

${displaystyle r=r(0)exp left(-{frac {kappa }{2}}tight)}$

${displaystyle {dot {e}}+alpha e=({dot {e}}(0)+alpha e(0))exp left(-{frac {kappa }{2}}tight)}$

которое затем может быть решено с использованием любых методов линейного дифференциального уравнения.

Примечания

1. Фримен (46)

Рекомендации

• Freeman, Randy A .; Петар В. Кокотович (2008). Надежная конструкция нелинейного управления (иллюстрировано, переиздание ред.). Birkhäuser. п. 257. ISBN  0-8176-4758-9. Получено 2009-03-04.

Смотрите также

• Теорема Арстейна
• Оптимизация по Ляпунову
• Дрифт плюс штраф