Примыкание (теория вероятностей) - Contiguity (probability theory)

В теория вероятности, две последовательности вероятностные меры как говорят смежный если асимптотически они разделяют одно и то же поддерживать. Таким образом, понятие смежность расширяет понятие абсолютная непрерывность последовательностям мер.

Первоначально концепция была представлена Ле Кам (1960) как часть его вклада в развитие абстрактного общего асимптотическая теория в математике статистика. Ле Кам сыграл важную роль в период развития абстрактной общей асимптотической теории в математической статистике. Он наиболее известен своими общими концепциями локальная асимптотическая нормальность и смежность.[1]

Определение

Позволять быть последовательностью измеримые пространства, каждая из которых оснащена двумя мерами пп и Qп.

  • Мы говорим что Qп является смежный относительно пп (обозначено Qп ◁ пп), если для каждой последовательности Ап из измеримые множества, пп(Ап) → 0 подразумевает Qп(Ап) → 0.
  • Последовательности пп и Qп как говорят взаимно смежный или же два смежных (обозначено Qп ◁▷ пп) если оба Qп примыкает к пп и пп прилегает к Qп.[2]

Понятие смежности тесно связано с понятием абсолютная непрерывность. Мы говорим, что мера Q является абсолютно непрерывный относительно п (обозначено Q ≪ п), если для любого измеримого множества А, п(А) = 0 подразумевает Q(А) = 0. То есть, Q абсолютно непрерывна относительно п если поддерживать из Q является подмножеством поддержки п, за исключением случаев, когда это неверно, включая, например, меру, которая концентрируется на открытом множестве, потому что ее опорой является замкнутое множество и она присваивает нулевую меру границе, и поэтому другая мера может сосредоточиться на границе и, таким образом, иметь поддержка содержится в поддержке первой меры, но они будут взаимно уникальными. Таким образом, утверждение об абсолютной преемственности в предыдущем предложении неверно. В смежность свойство заменяет это требование асимптотическим: Qп прилегает к пп если «предельная поддержка» Qп является подмножеством предельного носителя пп. По изложенной выше логике это утверждение также неверно.

Однако возможно, что каждая из мер Qп быть абсолютно непрерывным относительно пп, а последовательность Qп не примыкающий к пп.

Фундаментальный Теорема Радона – Никодима для абсолютно непрерывных мер утверждает, что если Q абсолютно непрерывна относительно п, тогда Q имеет плотность относительно п, обозначенный как ƒ = ​dQ⁄dп, такое, что для любого измеримого множества А

что интерпретируется как возможность «восстановить» меру Q от знания меры п и производная ƒ. Аналогичный результат существует для непрерывных последовательностей мер и дается формулой Третья лемма Ле Кама.

Приложения

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Вулфовиц Дж. (1974) Рецензия на книгу Джорджа Руссаса "Смежность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике",Журнал Американской статистической ассоциации, 69, 278–279 jstor
  2. ^ ван дер Ваарт (1998, п. 87)
  3. ^ «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-10-11. Получено 2009-11-12.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)

Рекомендации

  • Hájek, J .; Шидак, З. (1967). Теория ранговых тестов. Нью-Йорк: Academic Press.
  • Ле Кам, Люсьен (1960). «Локально асимптотически нормальные семейства распределений». Статистические публикации Калифорнийского университета. 3: 37–98.
  • Руссас, Джордж Г. (2001) [1994], «Примыкание вероятностных мер», Энциклопедия математики, EMS Press
  • ван дер Ваарт, А. В. (1998). Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета.

Дополнительная литература

  • Руссас, Джордж Г. (1972), Смежность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике, ЧАШКА, ISBN  978-0-521-09095-7.
  • Скотт, Д.Дж. (1982) Смежность вероятностных мер, Статистический журнал Австралии и Новой Зеландии, 24 (1), 80–88.

внешняя ссылка