Обобщенная обратная с ограничениями - Constrained generalized inverse

В линейная алгебра, а ограниченная обобщенная обратная получается путем решения система линейных уравнений с дополнительным ограничением, что решение находится в заданном подпространстве. Еще говорят, что проблема описывается системой линейные уравнения со связями.

Во многих практических задачах решение ${displaystyle x}$ линейной системы уравнений

${displaystyle Ax=bqquad ({ ext{with given }}Ain mathbb {R} ^{m imes n}{ ext{ and }}bin mathbb {R} ^{m})}$

приемлемо только тогда, когда оно находится в определенном линейное подпространство ${displaystyle L}$ из ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$.

В дальнейшем ортогональная проекция на ${displaystyle L}$ будем обозначать ${displaystyle P_{L}}$. Ограниченная система линейных уравнений.

${displaystyle Ax=bqquad xin L}$

имеет решение тогда и только тогда, когда безусловная система уравнений

${displaystyle (AP_{L})x=bqquad xin mathbb {R} ^{m}}$

разрешима. Если подпространство ${displaystyle L}$ является собственным подпространством в ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$, то матрица безусловной задачи ${displaystyle (AP_{L})}$ может быть сингулярным, даже если матрица системы ${displaystyle A}$ задачи с ограничениями обратима (в этом случае ${displaystyle m=n}$). Это означает, что для решения ограниченной задачи необходимо использовать обобщенное обратное. Итак, обобщенная инверсия ${displaystyle (AP_{L})}$ также называется ${displaystyle L}$-условная псевдообратная система из ${displaystyle A}$.

Примером псевдообратной формулы, которую можно использовать для решения задачи с ограничениями, является Обратное по Ботту – Даффину из ${displaystyle A}$ принужден к ${displaystyle L}$, которая определяется уравнением

${displaystyle A_{L}^{(-1)}:=P_{L}(AP_{L}+P_{L^{perp }})^{-1},}$

если существует обратное в правой части.