Сопряженная глубина - Conjugate depth

В динамика жидкостей, то сопряженная глубинаs относятся к глубине (у₁) вверх по течению и глубина (у₂) после гидравлический прыжок чей потоки импульса равны для данного увольнять (объемный поток) q. Глубина перед гидравлическим прыжком всегда сверхкритический. Важно отметить, что сопряженная глубина отличается от альтернативных глубин для потока, которые используются в энергосбережение расчеты.

Математический вывод

M–у диаграмма.

Начиная с равного потока импульса M и разряд q до и после гидравлического прыжка:

${\displaystyle M={\frac {y_{1}^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{1}}}={\frac {y_{2}^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{2}}}.}$

Перестановка условий дает:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(y_{z}^{2}-y_{1}^{2}\right).}$

Умножьте, чтобы получить общий знаменатель слева и множим правую часть:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1}).}$

(у₂−у₁) срок отменяется:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(y_{2}+y_{1})\qquad {\text{where }}q_{1}^{2}=y_{1}^{2}v_{1}^{2}=y_{2}^{2}v_{2}^{2}.}$

Поделить на у₁²

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2y_{1}^{2}}}(y_{2}+y_{1})\qquad {\text{recall }}Fr_{1}^{2}={\frac {v_{1}^{2}}{gy_{1}}}.}$

После этого умножьте на у₂ и расширить Правая сторона:

${\displaystyle Fr_{2}^{2}={\frac {y_{2}^{2}}{2y_{1}^{2}}}+{\frac {y_{2}}{2y_{1}}}.}$

Заменять Икс для постоянного у₂/у₁:

${\displaystyle Fr_{1}^{2}={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}\Rightarrow 0={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}-Fr_{1}^{2}.}$

Решение квадратное уровненеие и умножая его на ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}}$ дает:

${\displaystyle x={\frac {-{\tfrac {1}{2}}\pm {\sqrt {(1/2)^{2}+4(1/2)(Fr_{1}^{2})}}}{2(1/2)}}.}$

Подставим константу у₂/у₁ назад для Икс чтобы получить сопряженное уравнение глубины

${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

Обратите внимание, что это уравнение применимо только к гидравлическим прыжкам через плоские кровати.